Compétences et clés de réussite

Cet exercice 1 du sujet 1 du Baccalauréat 2022 en Polynésie est un classique incontournable de la filière générale, spécialité mathématiques. Il aborde de manière concrète l'analyse d'un test médical pour le diagnostic des angines, permettant de lier les concepts théoriques à une situation réelle. Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser deux volets majeurs du programme : les probabilités conditionnelles et les variables aléatoires discrètes suivant une loi binomiale.

1. Modélisation par les probabilités conditionnelles

La première partie exige une lecture attentive de l'énoncé pour traduire les données textuelles en langage mathématique. Les élèves doivent être capables de :

• Construire un arbre pondéré : Il est crucial de placer correctement les probabilités marginales (ici, la prévalence de l'angine bactérienne) et les probabilités conditionnelles (la sensibilité et la spécificité du test) sur les branches adéquates. Une erreur ici se répercutera sur toute la suite.
• Utiliser la formule des probabilités totales : Pour calculer la probabilité qu'un test soit positif (événement T), l'élève doit sommer les probabilités des chemins menant à T (vrais positifs et faux positifs).
• Inverser le conditionnement (Formule de Bayes) : Une question classique consiste à calculer la probabilité d'être malade sachant que le test est positif. Cela demande de bien distinguer $P_T(A)$ de $P_A(T)$.
• Interpréter les événements : L'exercice introduit la notion de « résultat erroné » (faux positif ou faux négatif). Il faut savoir identifier ces cas comme l'union de deux intersections disjointes.

2. Maîtrise de la Loi Binomiale

La seconde partie change de paradigme en passant à l'échantillonnage. Le candidat doit identifier la structure d'une épreuve de Bernoulli répétée de manière indépendante (tirage avec remise assimilé).

• Justification des paramètres : Il est impératif de préciser les paramètres $n$ (nombre de patients) et $p$ (probabilité de l'événement succès, ici le test erroné calculé précédemment) pour justifier l'usage de la loi $\mathcal{B}(n, p)$.
• Calculs de probabilités : L'utilisation de la calculatrice ou des formules du cours est nécessaire pour calculer une probabilité exacte $P(X=k)$.
• Événement contraire : Pour calculer la probabilité d'avoir « au moins un » résultat erroné ($P(X \geqslant 1)$), la méthode la plus efficace reste le passage par l'événement contraire ($1 - P(X=0)$).
• Recherche de seuil : La dernière question demande de déterminer la taille de l'échantillon $n$ pour atteindre un certain niveau de probabilité. Cela requiert souvent l'usage des logarithmes ou une résolution par tâtonnements (balayage) à la calculatrice, une compétence technique souvent testée au Bac.

En résumé, cet exercice vérifie la capacité à structurer un raisonnement probabiliste complet, de l'arbre initial à l'analyse d'un échantillon, avec rigueur et précision dans les calculs.