Analyse de l'exercice : Logarithme népérien et Convexité

Cet exercice de mathématiques du Baccalauréat 2022 (Polynésie, Sujet 1) propose une étude approfondie articulée autour de la fonction logarithme népérien. Il est divisé en deux parties interdépendantes : l'étude d'une fonction auxiliaire $g$, suivie de l'analyse d'une fonction principale $f$, liée à la précédente par une relation de primitive.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit mobiliser plusieurs savoir-faire essentiels du programme de Terminale Spécialité Mathématiques :

• Calcul de dérivées : La maîtrise de la dérivée d'un quotient $\left(\frac{u}{v}\right)'$ est indispensable pour la première partie, ainsi que la connaissance de la dérivée de $\ln(x)$.
• Interprétation de tableaux de variations : Il faut savoir lire un tableau pour justifier des valeurs exactes (extremums), décrire les variations et identifier les limites aux bornes (croissances comparées).
• Lien entre fonction et primitive : L'exercice demande de démontrer que $f$ est une primitive de $g$. Cela revient à vérifier par le calcul que $f'(x) = g(x)$. La maîtrise de la dérivée de fonctions composées de type $(u^n)'$ est ici requise.
• Étude de la convexité : C'est un point central de la partie 2. L'élève doit comprendre que la convexité de $f$ se déduit du signe de sa dérivée seconde $f''$ (ou des variations de sa dérivée $f'$). Ici, puisque $f' = g$, l'étude du signe de $g'$ réalisée en partie 1 permet de conclure directement.
• Tangente et inégalités : Savoir déterminer l'équation réduite d'une tangente en un point $a$ via la formule $y = f'(a)(x-a) + f(a)$. Enfin, l'exercice invite à utiliser la propriété de convexité (la courbe est située au-dessus de ses tangentes pour une fonction convexe) pour démontrer une inégalité fonctionnelle.

Cet exercice est un classique des sujets de Bac, combinant habilement calcul algébrique et raisonnement graphique pour tester la compréhension globale de l'analyse réelle.