Analyse de l'Exercice de Géométrie dans l'Espace - Polynésie 2022

Cet exercice de géométrie dans l'espace, tiré du sujet 1 de Polynésie 2022, est un classique des épreuves du Baccalauréat Spécialité Mathématiques. Il mobilise l'ensemble des compétences analytiques liées à l'étude des solides, des plans et des droites dans un repère orthonormé défini par un cube.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs notions fondamentales du programme de Terminale :

• Repérage dans l'espace : La première étape consiste à identifier correctement les coordonnées des sommets d'un cube dans un repère orthonormé imposé. C'est la base indispensable pour la suite des calculs. Une erreur d'inattention ici peut compromettre l'ensemble de l'exercice.
• Vecteurs normaux et plans : L'élève doit savoir démontrer qu'un vecteur est normal à un plan. La méthode attendue repose sur le calcul de produits scalaires : il faut prouver que le vecteur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (formés par trois points du plan).
• Équation cartésienne d'un plan : Une fois le vecteur normal identifié, il faut savoir déterminer l'équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0. La vérification est simple : les coordonnées des points du plan doivent satisfaire l'équation trouvée.
• Représentation paramétrique d'une droite : Il est essentiel de savoir traduire les propriétés géométriques (passer par un point et être dirigé par un vecteur, ici le vecteur normal au plan) en un système d'équations paramétriques dépendant d'un paramètre réel t.
• Intersection et projection orthogonale : L'exercice demande de trouver le projeté orthogonal d'un point sur un plan. Cela revient à chercher le point d'intersection entre le plan et la droite orthogonale à ce plan passant par le point donné. Cette compétence nécessite de résoudre un système mêlant l'équation du plan et la représentation paramétrique de la droite.
• Calculs de distances et de volumes : Enfin, l'exercice lie géométrie et calculs métriques. Il faut savoir calculer la distance entre deux points (norme d'un vecteur) et appliquer la formule du volume d'une pyramide (ou tétraèdre). Une subtilité fréquente apparaît en fin d'exercice : utiliser le volume calculé et la hauteur (distance point-plan) pour déduire l'aire d'une face, en inversant la formule du volume.

En résumé, cet exercice de géométrie analytique demande de la rigueur dans les calculs algébriques et une bonne capacité à visualiser les objets géométriques (plan, droite, projeté) au sein du cube.