Analyse globale de l'exercice

Cet exercice du Baccalauréat 2022 (Zone Madagascar, Sujet 1) est un grand classique de l'épreuve de mathématiques. Il propose une structure bipartite très fréquente : une Partie A consacrée à l'étude analytique d'une fonction comportant une exponentielle, suivie d'une Partie B étudiant une suite numérique définie par récurrence à l'aide de la fonction précédente. Ce type de sujet permet d'évaluer la capacité des élèves à mobiliser des connaissances transversales entre l'analyse et les suites.

Compétences et clés de réussite

1. Maîtrise de la fonction exponentielle et des limites

La première partie demande une étude rigoureuse de la fonction $f(x) = 1+x - \text{e}^{0,5x - 2}$. Les points clés incluent :

• Levée d'indétermination : Le calcul de la limite en $+\infty$ présente une forme indéterminée du type $\infty - \infty$. La réussite passe par une factorisation astucieuse par $x$ (ou $0,5x$) pour faire apparaître des limites usuelles de croissance comparée ($à savoir $\lim_{X \to +\infty} \frac{\text{e}^X}{X} = +\infty$).
• Dérivation et étude de signe : Il faut dériver correctement une fonction composée de la forme $\text{e}^{u(x)}$. L'étude du signe de la dérivée nécessite de résoudre une inéquation exponentielle simple, faisant intervenir le logarithme népérien.
• Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : Pour montrer l'existence d'une solution unique à l'équation $f(x)=0$, il est indispensable de vérifier la continuité, la stricte monotonie de la fonction sur l'intervalle donné et les valeurs aux bornes.

2. Suites récurrentes et raisonnement par récurrence

La Partie B relie la suite $(u_n)$ à la fonction $f$ via la relation $u_{n+1} = f(u_n)$. Les compétences attendues sont :

• Le raisonnement par récurrence : C'est l'outil central pour démontrer une propriété du type $u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4$. L'hérédité repose souvent sur la croissance de la fonction $f$ démontrée en Partie A, ce qui permet de conserver l'ordre des inégalités.
• Théorème de convergence monotone : Il faut savoir combiner le sens de variation de la suite (ici croissante) et le fait qu'elle soit majorée pour conclure à sa convergence.
• Théorème du point fixe : Pour trouver la valeur de la limite $\ell$, l'élève doit résoudre l'équation $\ell = f(\ell)$. La résolution exacte a généralement été préparée ou simplifiée par les questions précédentes.

3. Algorithmique et Python

L'exercice se clôture par l'analyse d'une fonction Python. Il ne s'agit pas d'écrire du code, mais de l'interpréter. La compétence clé est la lecture de boucle while (tant que). Ici, l'algorithme calcule le rang $n$ à partir duquel la suite dépasse une certaine valeur seuil (proche de la limite). Comprendre le lien entre la condition d'arrêt de la boucle et la convergence de la suite vers 4 est essentiel pour répondre correctement.