Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Polynésie 2022, Sujet 1) est un classique incontournable portant sur l'étude des suites numériques. Il mobilise un éventail complet de compétences attendues en Terminale, allant du calcul algébrique élémentaire à la démonstration formelle par récurrence, en passant par l'algorithmique.

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser les points suivants :

• Calcul de termes et fractions : La première partie demande de calculer les premiers termes de la suite définie par une relation de récurrence du type $u_{n+1} = f(u_n)$. La rigueur dans la manipulation des fractions est ici essentielle pour obtenir des formes irréductibles et deviner la conjecture finale.
• Algorithmique et Python : L'exercice intègre une composante informatique. Il s'agit de comprendre la structure d'une fonction retournant une liste. Le candidat doit identifier l'initialisation de la variable (correspondant à $u_0$) et l'instruction de mise à jour dans la boucle for (correspondant à la relation de récurrence). C'est une compétence standard pour modéliser l'évolution d'une suite.
• Étude des variations : Pour déterminer le sens de variation, la méthode privilégiée est l'étude du signe de la différence $u_{n+1} - u_n$. Sachant que les termes sont strictement positifs, la simplification de cette différence permet de conclure rapidement sur la décroissance de la suite.
• Théorème de convergence monotone : Une étape clé de l'analyse est de lier la monotonie de la suite et le fait qu'elle soit bornée (ici minorée par 0 car positive) pour en déduire sa convergence. C'est un théorème fondamental du cours.
• Calcul de la limite : Une fois la convergence établie, le passage à la limite dans la relation de récurrence (résolution de l'équation $l = \frac{l}{1+l}$) permet de trouver la valeur exacte vers laquelle la suite tend.
• Conjecture et Récurrence : La dernière partie demande de lier l'indice $n$ à la valeur de $u_n$ (forme explicite). Après avoir conjecturé une formule simple (souvent liée à l'inverse de $n$), le candidat doit mener une démonstration par récurrence rigoureuse. Les trois étapes (initialisation, hérédité, conclusion) doivent être clairement rédigées pour valider la propriété pour tout entier naturel.

Ce type d'exercice est structurant pour la préparation au Bac car il vérifie la capacité de l'élève à passer d'une approche numérique et algorithmique à une approche théorique et démonstrative.