Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat 2022, épreuve de Madagascar (Sujet 2), propose une étude classique mais dense qui lie l'analyse de fonctions aux suites numériques. Il s'agit d'un problème de synthèse idéal pour vérifier la maîtrise des concepts fondamentaux de Terminale. Voici les points méthodologiques essentiels pour réussir ce type d'épreuve.

1. Étude de fonction Logarithme et Exponentielle

La première partie (Partie A) se concentre sur une fonction $f$ mêlant logarithme népérien et exponentielle sur l'intervalle $]0; 1]$.

• Limites et Dérivées : La difficulté principale réside souvent dans la gestion des formes indéterminées ou des limites aux bornes (ici en 0). Pour la dérivation, il faut être rigoureux dans l'application des formules, notamment pour les termes composés comme $e^{-x}$. Savoir mettre au même dénominateur est crucial pour obtenir l'expression demandée de $f'(x)$.
• Variations et TVI : L'étude du signe de la dérivée mène au tableau de variations. Une compétence clé ici est l'utilisation du Théorème des Valeurs Intermédiaires (ou son corollaire de bijection monotone) pour prouver l'existence et l'unicité d'une solution à l'équation $f(x)=0$. Il ne faut jamais oublier de vérifier les conditions d'application (continuité, stricte monotonie, images des bornes).

2. Suites Numériques Croisées et Algorithmique

La Partie B introduit deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$ définies par une relation de récurrence croisée (l'une dépend de l'autre). C'est une configuration moins fréquente qui demande une attention particulière.

• Algorithmique (Python) : L'exercice demande de compléter une fonction Python. L'enjeu est de comprendre la gestion des variables lors d'une mise à jour simultanée. L'utilisation d'une variable temporaire (ici notée c) est une technique classique pour ne pas écraser une valeur nécessaire au calcul suivant.
• Raisonnement par Récurrence : C'est le cœur de la partie B. L'élève doit démontrer une inégalité quadruple : $0 < a_n \leqslant a_{n+1} \leqslant b_{n+1} \leqslant b_n \leqslant 1$. La clé est de bien poser l'hypothèse de récurrence et d'utiliser la décroissance de la fonction exponentielle pour inverser les inégalités à chaque étape. C'est un test excellent de rigueur logique.

3. Convergence et lien avec la Partie A

Pour conclure, l'exercice demande de prouver la convergence des suites. Il faut mobiliser le théorème de convergence monotone (toute suite croissante et majorée converge, toute suite décroissante et minorée converge). Enfin, l'étape finale consiste à passer à la limite dans les relations de récurrence pour caractériser les limites $A$ et $B$ et faire le lien avec la fonction étudiée en Partie A. Savoir reconnaître l'équation $f(x)=0$ à partir du système d'équations limites est la compétence qui permet de finaliser l'exercice.