Compétences et clés de réussite

Cet exercice de géométrie dans l'espace, extrait du sujet de Baccalauréat Spécialité Mathématiques 2022 pour la zone Polynésie (Sujet 1), mobilise l'ensemble des connaissances classiques sur les vecteurs, les droites et les plans dans un repère orthonormé. Il s'agit d'un problème complet permettant d'évaluer la capacité de l'élève à manipuler les coordonnées spatiales et à visualiser des configurations géométriques en 3D.

1. Produit scalaire et géométrie du triangle

La première partie de l'exercice se concentre sur l'étude d'un triangle $ABC$. Pour réussir cette section, le candidat doit maîtriser le calcul vectoriel de base :

• Démontrer qu'un triangle est rectangle : L'outil privilégié est le produit scalaire. Si le produit scalaire de deux vecteurs formant les côtés adjacents est nul (vecteurs orthogonaux), alors l'angle est droit.
• Calcul d'angle : L'exercice invite à utiliser la définition géométrique du produit scalaire : $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\alpha)$. En calculant le produit scalaire via les coordonnées puis les normes des vecteurs (longueurs), on peut isoler le cosinus et en déduire la mesure de l'angle en degrés.

2. Plans, droites et orthogonalité

La seconde partie élève le niveau d'abstraction en introduisant un plan $\mathcal{P}$ et en demandant d'établir des relations entre ce plan et le plan $(ABC)$. Les points clés sont :

• Parallélisme de plans : Pour montrer qu'un plan défini par une équation cartésienne est parallèle à un plan défini par trois points, on peut vérifier que le vecteur normal du premier est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires du second (par exemple $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$).
• Équation cartésienne : Savoir déterminer l'équation de la forme $ax + by + cz + d = 0$ à partir d'un vecteur normal et d'un point est indispensable.
• Représentation paramétrique : Il faut savoir traduire la propriété géométrique "la droite est orthogonale au plan" en propriété vectorielle "le vecteur directeur de la droite est colinéaire au vecteur normal du plan".
• Projeté orthogonal : Trouver les coordonnées du point $H$ (projeté de $E$ sur le plan) revient souvent à calculer l'intersection entre la droite orthogonale passant par $E$ et le plan lui-même. C'est un système d'équations classique mêlant paramètre $t$ et équation cartésienne.

3. Calcul de volume

La dernière question est une application directe des résultats précédents. Le volume d'une pyramide nécessite de connaître l'aire de la base et la hauteur. Ici, la base est le triangle $ABC$ (dont la nature rectangle facilite le calcul d'aire) et la hauteur correspond à la distance $EH$, calculable grâce aux coordonnées trouvées précédemment. Une bonne maîtrise de la formule de la distance entre deux points dans l'espace est requise pour conclure.