Compétences et clés de réussite

Cet exercice de géométrie dans l'espace, extrait du Baccalauréat 2022 pour les Centres Étrangers (Sujet 1), mobilise l'ensemble des notions classiques du programme de spécialité mathématiques concernant la géométrie vectorielle, métrique et analytique.

1. Manipulation des vecteurs et produit scalaire

La première partie exige une maîtrise des calculs de base dans un repère orthonormé. L'élève doit savoir déterminer les coordonnées de vecteurs pour prouver la non-colinéarité (et donc le non-alignement des points). Le cœur de cette section repose sur l'utilisation du produit scalaire sous sa forme analytique (xx' + yy' + zz') pour en déduire des propriétés géométriques, notamment le calcul d'angles via la formule du cosinus. Une attention particulière doit être portée à la conversion des unités d'angle (degrés) et aux arrondis.

2. Équations de plans et de droites

La seconde partie est axée sur la dualité entre droites et plans. Les candidats doivent savoir :

• Déterminer l'équation cartésienne d'un plan défini par un point et un vecteur normal (ici, le vecteur directeur d'une droite perpendiculaire).
• Établir une représentation paramétrique d'une droite passant par deux points.
• Calculer les coordonnées d'un projeté orthogonal. Ce point est fondamental car il s'obtient par l'intersection de la droite et du plan, nécessitant la résolution d'un système d'équations simple.

La réussite de ces calculs est indispensable pour déterminer la hauteur du triangle et calculer son aire.

3. Volume et géométrie dans l'espace

La dernière partie élargit le problème à la 3D pure. Il est demandé de vérifier la coplanarité de quatre points (souvent en décomposant un vecteur sur une base formée par deux autres vecteurs non colinéaires ou en vérifiant l'équation du plan). L'exercice se conclut par le calcul du volume d'un tétraèdre. Il faut ici démontrer rigoureusement l'orthogonalité entre une droite (la hauteur du solide) et le plan de la base, puis appliquer la formule du volume $V = \frac{1}{3} \times \text{Aire}_{base} \times \text{Hauteur}$.

En résumé, cet exercice demande de la rigueur dans les calculs de coordonnées et une bonne vision spatiale pour lier les équations algébriques aux objets géométriques (plans, droites, intersections).