Compétences et clés de réussite

Cet exercice 3 du sujet Asie 2022 (Sujet 1) est un classique de la géométrie dans l'espace, s'appuyant sur l'étude d'un cube dans un repère orthonormé. Il mobilise l'ensemble des compétences attendues en Terminale sur ce chapitre, allant de la simple manipulation de coordonnées aux calculs de distances et de volumes.

1. Repérage et calculs de distances

La première partie de l'exercice demande une bonne vision dans l'espace pour placer des points dans un repère défini par les arêtes du cube. Pour démontrer qu'un triangle est isocèle (ou rectangle), la maîtrise de la formule de la distance entre deux points dans un repère orthonormé est indispensable : $AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}$. Il faut également savoir justifier que trois points définissent un plan en vérifiant qu'ils ne sont pas alignés (vecteurs non colinéaires).

2. Équations de plans et de droites

Le cœur de l'exercice repose sur la dualité entre l'équation cartésienne d'un plan et la représentation paramétrique d'une droite. Les élèves doivent être capables de :

• Vérifier qu'un vecteur est normal à un plan en calculant deux produits scalaires nuls avec deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan.
• Déduire une équation cartésienne de la forme $ax + by + cz + d = 0$ à partir du vecteur normal.
• Établir la représentation paramétrique d'une droite passant par un point et dirigée par un vecteur (ici, la droite orthogonale au plan passant par un point extérieur).

3. Projection orthogonale et distance point-plan

Une compétence clé évaluée ici est la détermination des coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur un plan. La méthode attendue consiste à trouver le point d'intersection entre le plan et la droite qui lui est orthogonale. Cela revient à résoudre un système formé par l'équation du plan et les équations paramétriques de la droite. Une fois le projeté identifié, la distance du point au plan se calcule simplement comme la longueur du segment reliant le point à son projeté.

4. Volumes et Aires

La dernière partie fait appel à la formule du volume d'un tétraèdre : $V = \frac{1}{3} \times \text{Base} \times \text{Hauteur}$. L'originalité de la question finale réside dans l'inversion de cette logique : connaissant le volume (calculé précédemment via une base simple) et la hauteur (la distance point-plan calculée juste avant), l'élève doit en déduire l'aire d'une face du tétraèdre (le triangle PQR). C'est une application transversale qui demande de la rigueur dans l'enchaînement des résultats.