Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat 2022 (Sujet 2, Nouvelle-Calédonie) propose une étude classique mais complète d'une fonction logarithme. Il mobilise des compétences fondamentales de l'analyse en Terminale, allant du calcul dérivé à l'interprétation d'un algorithme Python.

1. Étude analytique et Convexité

La première partie de l'exercice se concentre sur les propriétés locales de la fonction. Pour réussir, le candidat doit maîtriser :

• La dérivation : Savoir dériver un produit de la forme $u \times v$ (ici $x \ln(x)$) est essentiel pour retrouver l'expression de $f'(x)$.
• L'équation de la tangente : L'application de la formule $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ est requise au point d'abscisse $e$.
• La convexité : Il s'agit d'étudier le signe de la dérivée seconde $f''(x)$. Une fonction est convexe sur un intervalle si sa dérivée seconde y est positive.
• Position relative : Une propriété géométrique importante lie la convexité à la tangente : la courbe d'une fonction convexe est toujours située au-dessus de ses tangentes.

2. Limites et Variations

L'étude globale de la fonction nécessite la maîtrise des croissances comparées et des limites usuelles du logarithme népérien, notamment en $0$ (où $x \ln(x)$ tend vers $0$) et en $+\infty$. Le tableau de variations permet ensuite de synthétiser ces informations et de visualiser l'allure de la courbe.

3. Équation $f(x) = 0$ et Théorème des valeurs intermédiaires

L'existence et l'unicité de la solution $\alpha$ reposent sur le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (aussi appelé théorème de la bijection). Il est crucial de vérifier trois conditions : la continuité de la fonction, sa stricte monotonie sur l'intervalle donné, et l'appartenance de la valeur cible (ici $0$) à l'image de l'intervalle. L'encadrement de $\alpha$ permet ensuite de déduire le signe de la fonction sur tout son domaine.

4. Interprétation algorithmique

La dernière question lie mathématiques et programmation Python. L'algorithme présenté est une boucle while qui effectue un balayage (ou recherche linéaire) pour approcher la solution de l'équation $f(x) < 0$. Le candidat doit être capable d'interpréter la condition d'arrêt de la boucle pour comprendre que la fonction renvoie une approximation par excès de la solution $\alpha$ étudiée précédemment.