Oui
Géométrie dans l'espace
Produit scalaire
Équation de plan
Représentation paramétrique
Volume
Sujet Bac Corrigé - Géométrie dans l'espace - Métropole Sujet 2 - 2022 - Ex 3 - Corrigé
30 avril 2022
Terminale Spécialité
Salut champion ! 🚀 Prêt à conquérir la 3D ? Cet exercice incontournable du Bac te plonge au cœur d'un cube pour explorer le mystérieux tétraèdre EFGK. C'est le terrain de jeu idéal pour maîtriser les fondamentaux de la Géométrie dans l'espace.
Voici ton programme d'entraînement :
- Dompter les coordonnées et prouver l'orthogonalité grâce au produit scalaire. 🧠
- Établir une équation cartésienne de plan et une représentation paramétrique de droite avec aisance. ✅
- Calculer des distances, des aires et des volumes avec précision.
⚠️ Le défi : Sauras-tu déterminer le volume final du petit tétraèdre FPMN sans te perdre dans les milieux de segments ? Cet exercice complet est parfait pour booster ta vision spatiale et assurer tes points le jour J. 🔥 Prêt à relever le défi ?
✅ Correction
🫣
Correction Masquée
Avez-vous bien cherché l'exercice ?
Compétences et clés de réussite
Cet exercice du Baccalauréat 2022 (Métropole, Sujet 2) est un classique de la géométrie dans l'espace. Il mobilise l'ensemble des notions fondamentales attendues en Terminale sur ce chapitre, en s'appuyant sur un support visuel simple : un cube muni d'un repère orthonormé.
1. Repérage et calcul vectoriel
La première étape consiste à maîtriser la lecture de coordonnées dans un repère défini par les arêtes du cube. C'est la base de tout l'exercice. Une erreur ici se répercuterait sur la suite. Il faut ensuite savoir manipuler les coordonnées de vecteurs pour démontrer l'orthogonalité via le produit scalaire (un vecteur est normal à un plan s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan).
2. Équations de plans et de droites
L'exercice demande de passer de la géométrie vectorielle à la géométrie analytique :
- Déterminer l'équation cartésienne d'un plan à partir d'un vecteur normal et d'un point.
- Établir la représentation paramétrique d'une droite orthogonale à ce plan.
Ces compétences sont standard et nécessitent une rédaction rigoureuse.
3. Projections et distances
Une partie centrale du problème concerne le projeté orthogonal d'un point sur un plan. Pour réussir, l'élève doit comprendre que ce point est l'intersection entre le plan et la droite orthogonale passant par le point extérieur. Une fois les coordonnées trouvées, le calcul de distance permet d'obtenir la hauteur du tétraèdre.
4. Calculs de volumes et aires
La fin de l'exercice lie les calculs analytiques aux formules géométriques. Il s'agit d'utiliser la formule du volume d'un tétraèdre ($V = \frac{1}{3} \times \text{Base} \times \text{Hauteur}$) de deux manières différentes :
- Calcul direct via une base simple (triangle rectangle) et une hauteur évidente.
- Déduction de l'aire d'une base plus complexe (le triangle EGK) en utilisant le volume calculé précédemment et la hauteur trouvée par projection orthogonale.
Enfin, la dernière question, plus subtile, demande de travailler sur un sous-tétraèdre défini par des milieux de segments, faisant appel aux propriétés d'homothétie ou de réduction des volumes.