Analyse globale de l'exercice

Cet exercice de la session 2022 en Polynésie (Sujet 1) est un classique de l'étude des suites définies par une relation de récurrence du type $u_{n+1} = f(u_n)$. Il s'agit ici d'une suite logistique, très courante dans les modélisations de dynamique des populations. Le problème est divisé en deux parties indépendantes traitant deux cas distincts du paramètre $k$.

L'objectif pédagogique est double : vérifier la maîtrise du raisonnement par récurrence et des théorèmes de convergence dans la première partie, puis tester la capacité à utiliser des majorations et l'outil informatique (Python) dans la seconde partie.

Compétences et clés de réussite

1. Étude de fonction et stabilité d'intervalle

La première étape consiste à étudier une fonction polynôme du second degré sur l'intervalle $[0; 1]$. Pour réussir cette question, il faut savoir :

• Calculer la dérivée d'une fonction simple ou utiliser les propriétés des paraboles (sommet, sens de variation).
• Dresser un tableau de variations complet.
• Conclure sur la stabilité de l'intervalle : montrer que l'image de l'intervalle $[0; 1]$ par la fonction $f$ est incluse dans ce même intervalle. C'est une condition sine qua non pour que la suite soit bien définie.

2. Construction graphique et conjecture

L'exercice propose une construction en "toile d'araignée" ou en "escalier". Il est essentiel de comprendre comment les termes se reportent de l'axe des ordonnées vers l'axe des abscisses via la droite $y=x$. Cette visualisation permet de conjecturer le sens de variation (ici croissant) et la convergence vers le point fixe (intersection de la courbe et de la droite).

3. Le raisonnement par récurrence

C'est le cœur de la Partie 1. La démonstration demandée est une récurrence en chaîne : $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1/2$.

• Initialisation : Vérifier la propriété au rang 0.
• Hérédité : Utiliser le sens de variation de la fonction $f$ (étudié précédemment) sur l'intervalle concerné. Comme $f$ est croissante sur $[0; 1/2]$, elle conserve l'ordre des inégalités. C'est la clé pour passer de l'inégalité au rang $n$ à celle au rang $n+1$.

4. Théorème de convergence monotone

Une fois la croissance et la majoration établies, le théorème de la limite monotone permet d'affirmer la convergence. Pour trouver la valeur de la limite, il faut résoudre l'équation $f(\ell) = \ell$ (équation aux points fixes). Attention à écarter les solutions qui ne sont pas cohérentes avec les conditions initiales ou l'intervalle de définition.

5. Majoration et Algorithmique (Partie 2)

Dans cette seconde partie, l'approche change. On ne cherche plus une récurrence complexe mais on utilise une majoration donnée : $u_n \leqslant (1/2)^n$.

• Le calcul de limite repose ici sur le théorème des gendarmes (ou de comparaison), sachant que la suite est positive.
• Pour la question Python, il faut faire le lien entre la convergence de la suite vers 0 et la condition d'arrêt de la boucle while. L'argument repose sur le fait que la suite tend vers 0, donc elle finira nécessairement par devenir inférieure à n'importe quel seuil strictement positif $10^{-p}$.