Compétences et clés de réussite

Cet exercice de la session de remplacement de septembre 2024 (Sujet 1) en Métropole est un classique de l'épreuve de spécialité mathématiques. Il se divise en deux parties indépendantes, permettant de tester un large éventail de compétences en analyse, allant du calcul intégral à l'étude complète d'une fonction logarithme dans un contexte économique.

Partie A : Calcul intégral et géométrie dans l'espace

La première partie modélise la forme d'un bonbon au chocolat. L'objectif principal est de calculer un volume engendré par une surface plane. Pour réussir cette partie, le candidat doit maîtriser :

• L'étude de signe : Justifier la positivité d'une fonction composée d'un polynôme et d'une exponentielle sur un intervalle donné.
• L'intégration par parties (IPP) : C'est le cœur technique de cette partie. Il faut savoir choisir judicieusement les fonctions $u(x)$ et $v'(x)$ pour transformer l'intégrale d'un produit en une forme calculable. Ici, la dérivation du polynôme permet de simplifier l'expression sous l'intégrale.
• Le lien aire-volume : Comprendre comment passer de l'intégrale (qui donne l'aire sous la courbe) au volume final en appliquant le coefficient multiplicateur donné par l'énoncé.

Partie B : Étude de fonction logarithme

Cette seconde partie s'intéresse à la modélisation d'un bénéfice. Elle requiert une maîtrise solide de l'analyse de fonctions :

• Calcul de limites : Il est nécessaire d'étudier le comportement de la fonction en $+\infty$, ce qui implique souvent de lever une forme indéterminée via les théorèmes de croissances comparées (ici entre la puissance et le logarithme).
• Dérivation : Le calcul de la dérivée $B'(q)$ nécessite l'utilisation de la formule de la dérivée d'un produit $(uv)' = u'v + uv'$. Une attention particulière doit être portée à la dérivée de $\ln(q)$.
• Étude des variations : L'analyse du signe de la dérivée conduit au tableau de variation. Il faut savoir résoudre des inéquations impliquant le logarithme népérien pour déterminer les intervalles de croissance et de décroissance.
• Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) : Pour résoudre l'équation $B(q) = 10$, l'application rigoureuse du corollaire du TVI (sur une fonction continue et strictement monotone) est indispensable.
• Interprétation concrète : L'exercice demande de traduire les résultats mathématiques (solutions de l'équation) en termes de gestion (nombre de bonbons à vendre), ce qui nécessite de savoir arrondir correctement et d'interpréter les intervalles solutions.

En résumé, cet exercice demande de la rigueur dans les calculs algébriques (notamment pour l'IPP et la dérivée) et une bonne capacité à naviguer entre le modèle mathématique et le problème concret posé.