Compétences et clés de réussite

Cet exercice de géométrie dans l'espace du Baccalauréat 2024 (Amérique du Sud, Sujet 2) invite les élèves à manipuler les coordonnées dans un repère orthonormé pour étudier les propriétés métriques d'un tétraèdre OABC particulier. L'objectif final est de démontrer une relation remarquable reliant le carré de l'aire de la grande face à la somme des carrés des aires des trois autres faces.

1. Maîtrise des équations de plans et de droites

La première partie exige une connaissance solide des objets fondamentaux de l'espace :

• Vecteur normal : Savoir vérifier qu'un vecteur est normal à un plan en testant son orthogonalité avec deux vecteurs non colinéaires du plan (via le produit scalaire).
• Équation cartésienne : Être capable de déterminer l'équation de la forme $ax + by + cz + d = 0$ à partir d'un point et d'un vecteur normal.
• Représentation paramétrique : Savoir traduire une droite passant par un point et dirigée par un vecteur sous forme de système paramétrique.

2. Intersection et distance point-plan

Une compétence classique évaluée ici est la détermination du projeté orthogonal d'un point sur un plan. Pour réussir, l'élève doit :

• Calculer les coordonnées du point d'intersection $H$ entre la droite normale issue de $O$ et le plan $(ABC)$ en injectant les équations paramétriques dans l'équation cartésienne.
• En déduire la distance $OH$, qui correspond à la hauteur du tétraèdre issue de l'origine.

3. Calculs de volumes et d'aires

La seconde partie de l'exercice se concentre sur l'application des formules géométriques :

• Calculer le volume d'un tétraèdre. Ici, la configuration particulière des points A, B et C sur les axes de coordonnées facilite grandement le calcul en prenant pour base l'un des triangles rectangles formés par l'origine.
• Utiliser la relation liant le volume, l'aire de la base et la hauteur pour déduire l'aire d'une face oblique.
• Enfin, la synthèse demande de calculer les aires de triangles rectangles simples pour vérifier l'égalité proposée, qui s'apparente à une généralisation du théorème de Pythagore dans l'espace (théorème de De Gua).

Cet exercice est un excellent entraînement pour structurer un raisonnement géométrique complet, allant de la caractérisation vectorielle aux calculs métriques.