Analyse de l'exercice : Géométrie vectorielle et analytique dans l'espace

L'exercice 4 du sujet 1 du Baccalauréat Spécialité Mathématiques 2024 (Centres Étrangers) est un classique de la géométrie dans l'espace. Il mobilise l'ensemble des connaissances acquises sur le repérage, les vecteurs, les plans et les droites. L'objectif est d'étudier la configuration d'un tétraèdre, ses hauteurs et des distances caractéristiques.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs savoir-faire fondamentaux du programme de Terminale :

• Démontrer l'alignement ou le non-alignement de points : Il s'agit ici de vérifier la colinéarité de deux vecteurs formés par trois points. C'est la première étape pour définir un plan.
• Manipuler les vecteurs normaux : Une compétence clé est de prouver qu'un vecteur est normal à un plan en vérifiant son orthogonalité avec deux vecteurs directeurs non colinéaires de ce plan (via le produit scalaire).
• Établir une équation cartésienne de plan : Une fois le vecteur normal identifié, il faut savoir déterminer l'équation de la forme $ax + by + cz + d = 0$ en utilisant les coordonnées d'un point appartenant au plan.
• Gérer les représentations paramétriques de droites : L'exercice demande de travailler avec des systèmes paramétriques pour définir des droites et démontrer des propriétés géométriques comme la hauteur d'un tétraèdre (orthogonalité entre la droite et le plan de base).
• Calculer des intersections : La recherche du point d'intersection entre deux droites nécessite de résoudre un système d'équations linéaires à deux inconnues (les paramètres $t$ et $s$). Une rigueur dans la résolution algébrique est indispensable.
• Déterminer un projeté orthogonal et une distance : La dernière partie requiert de savoir calculer les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur un plan (souvent via l'intersection entre le plan et la droite perpendiculaire passant par le point) et d'en déduire la distance d'un point à un plan.

Conseils méthodologiques

Dans ce type d'exercice, la rigueur de la rédaction est primordiale. Lorsque vous démontrez qu'une droite est orthogonale à un plan, précisez bien les deux vecteurs directeurs du plan utilisés. De même, lors de la résolution de systèmes pour trouver une intersection, vérifiez toujours que les valeurs trouvées satisfont les trois équations de coordonnées. Enfin, n'oubliez pas les unités ou les règles d'arrondi lorsqu'elles sont demandées, comme c'est le cas ici pour le calcul de distance.