Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat 2024 (Métropole, Sujet 1) propose une étude classique mais complète mêlant analyse de fonction, suites numériques et calcul intégral. C'est un problème de synthèse qui évalue la capacité de l'élève à lier les différents chapitres du programme de Terminale.

1. Étude de la fonction logarithme

La première partie se concentre sur une fonction faisant intervenir le logarithme népérien. Pour réussir, il est indispensable de maîtriser le calcul de la dérivée d'une fonction composée du type $\ln(u)$, où $u$ est une fonction strictement positive. L'étude du signe de la dérivée, ici un carré divisé par un dénominateur positif, permet de déduire la stricte croissance de la fonction sur $\mathbb{R}$. La manipulation algébrique des expressions logarithmiques est également requise pour lever une forme indéterminée lors du calcul de la limite en $+\infty$.

2. Suites définies par récurrence

La seconde partie exploite la fonction étudiée précédemment pour définir une suite $u_{n+1} = f(u_n)$. Les points clés incluent :

• Le raisonnement par récurrence : Indispensable pour prouver que la suite est bornée (ici positive).
• L'étude des variations : Elle s'appuie souvent sur le signe de $f(x) - x$ ou directement sur la définition de la suite. Ici, la présence du logarithme simplifie l'étude du signe de $u_{n+1} - u_n$.
• Le théorème de convergence monotone : Une suite décroissante et minorée converge.
• Le théorème du point fixe : Pour trouver la limite, il faut résoudre l'équation $f(\ell) = \ell$, ce qui nécessite une bonne maîtrise des propriétés du logarithme ($ ln(A) = 0 \iff A = 1$).

3. Algorithmique et Python

L'exercice intègre une question d'algorithmique. L'élève doit être capable de comprendre et compléter une boucle while (tant que). L'objectif est de déterminer un seuil, c'est-à-dire le premier rang $n$ pour lequel la suite passe sous une certaine valeur. Cela demande de bien identifier la condition d'arrêt et l'instruction de mise à jour de la variable.

4. Calcul intégral et encadrement

La dernière partie aborde l'intégrale sous son angle géométrique (aire sous la courbe) et analytique. La difficulté ne réside pas dans le calcul d'une primitive complexe, mais dans l'utilisation de la propriété de positivité et d'ordre de l'intégrale. L'élève doit utiliser un encadrement donné de la fonction pour en déduire un encadrement de l'intégrale sur l'intervalle $[2 ; 4]$. C'est une application directe de la linéarité et de la conservation de l'ordre par l'intégration.