19. Linéariser des expressions trigonométriques grâce à la formule de Moivre

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir comment est-ce qu'on règle très simplement ce genre de problème. On vous demande la partie réelle d'un nombre complexe et on va utiliser pour ça la formule de Moivre. Vous allez voir, c'est très simple.

La formule de Moivre

En réalité, ce genre de problème, on l'a déjà réglé. Vous avez un nombre complexe qui vaut tout simplement \(2 - 2i\) à la puissance \(217\). La formule de Moivre vous dit que quand vous avez un truc sur la forme \(r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))\), autrement dit dès que vous avez une formulation trigonométrique, vous pouvez passer la puissance en puissance du \(r\) et devant les \(\theta\) à l'intérieur des cosinus et des sinus.

Application de la formule de Moivre

La première étape, c'est d'arriver à écrire ça sous forme \(r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))\), c'est-à-dire sous la forme trigonométrique. Pour calculer \(r\), je vais utiliser les formules que vous connaissez : racine de la partie réelle au carré, donc \(2^2 = 4\), plus la partie imaginaire au carré, donc \((-2)^2 = 4\), ça me fait \(2\sqrt{2}\). Deuxième étape, je prends mon \(2 - 2i\) à la puissance \(217\) et je vais le factoriser par \(2\sqrt{2}\). Donc en fait, c'est quelque chose à la puissance \(217\) avec un \(2\sqrt{2}\) devant. Si je veux factoriser \(2 - 2i\) par \(2\sqrt{2}\), ça va me faire \(\sqrt{2}/2 - \sqrt{2}/2i\). Je me retrouve avec \(2\sqrt{2}(\cos(\pi/4) - i\sin(\pi/4))\) à la puissance \(217\). Et là, on applique gaiement la formule de Moivre. La formule de Moivre nous dit que ça fait \(2\sqrt{2}^{217}(\cos(217\pi/4) + i\sin(217\pi/4))\). Mais moi, vu que dans l'énoncé ce que j'ai demandé c'est la partie réelle, je peux dire directement que la partie réelle c'est \(2\sqrt{2}^{217}\cos(217\pi/4)\).

Conclusion

Donc vous voyez, en fait vous saviez le faire. La formule de Moivre vient du fait que \(e^{i\theta}\) à la puissance \(n\) ça fait \(e^{in\theta}\). Si vous voulez une deuxième vidéo sur la démonstration de cette formule, laissez-la en commentaire. En attendant, vous avez une pelletée d'exercices sous les yeux. Vous êtes des champions, à vous de jouer.