13. Angle entre deux vecteurs avec les complexes

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir comment calculer l'angle entre deux vecteurs en utilisant les complexes. Cette compétence est surpuissante car elle vous permettra de calculer n'importe quel angle dans n'importe quel triangle. Vous allez adorer, c'est ultra simple.

Calcul de l'angle entre deux vecteurs

Je vous rappelle que quand vous avez un vecteur, par exemple ce vecteur \(U\) qui a une affixe \(3i\), en calculant l'argument de \(3 - i\), vous avez accès à cet angle. C'est l'argument de \(3- i\), l'argument de l'affixe du point image \(U\). Maintenant, imaginons que j'ai un deuxième vecteur \(V\). L'angle que je vais observer ici sera de la même manière l'argument du point associé à la fixe du vecteur \(V\). Si je m'intéresse à l'angle entre \(U\) et \(V\), vous remarquez que j'ai juste à faire la somme de ces deux angles. C'est exactement le sens de la formule qu'on vous a donné dans la fiche. Cette fiche vous dit que pour trouver l'angle entre \(U\) et \(V\), il faut juste que vous fassiez l'argument entre \(Z\) du vecteur \(V\) et \(Z\) du vecteur \(U\). Autrement dit, l'angle \(U, V\) c'est tout simplement l'argument du vecteur \(V\), enfin de l'affixe du vecteur \(V\), donc du \(Z\) du \(V\) divisé par \(Z\) de \(U\). Aussi simple que ça.

Application pratique

Et là vous allez me dire, oui mais dans cet exercice je dois le faire entre des points, c'est la catastrophe. Mais regardez, ce que vous devez faire c'est entre \(AB\) et \(AC\). Votre vecteur \(U\) c'est donc le vecteur \(AB\) et votre vecteur \(V\) c'est donc le vecteur \(AC\). L'affixe du vecteur \(AB\), \(Z_{AB}\), comme rappelé dans la fiche, c'est tout simplement \(Z_B - Z_A\) et l'affixe du vecteur \(AC\) c'est tout simplement \(Z_C - Z_A\). Donc ce que vous recherchez pour avoir l'angle \(AB, AC\) c'est tout simplement l'argument de la fin moins le début toujours. Donc si vous voulez \(AB, AC\), il faut commencer par calculer \(AC\), donc ça va être \(Z_{AC} / Z_{AB}\) et c'est tout simplement l'argument de \(Z_C - Z_A / Z_B - Z_A\). Donc vous remarquez que dans cette formule tout est à l'envers. On veut \(AB, AC\), on commence par calculer \(AC\) et on divise par \(AB\). Et quand on veut \(AC\), on fait \(C - A\) et quand on veut \(AB\), on fait \(B - A\). Donc retenez que finalement \(AB, AC\), vous notez tout à l'envers, vous commencez par \(Z_C\), ensuite \(Z_B\) et vous divisez. Pour trouver l'argument d'un complexe, vous devez le mettre sous forme trigonométrique. Pour le mettre sous forme trigonométrique, il va d'abord falloir le passer sous forme algébrique. Ce qui nous embête c'est qu'on a du \(i\) en dessous. Donc je vais bosser sur \(2 - 2i / 2 + 2i\). Je vais multiplier en haut et en bas par le conjugué, donc par \(2 - 2i\). \(2 - 2i\) ça va me faire donc en bas \(2^2 - 2i^2\), donc ça va me faire \(8\) et en haut \(2 - 2i\) facteur de \(2 - 2i\) ça fait \(2 - 2i\) au carré, donc ça me fait \(4 - 8i^2 - 4\). Oh là là, qu'est-ce que c'est joli, ça me fait \(8i / 8\) et donc ça me fait \(i\). Donc l'argument de ça c'est l'argument de \(0 - i\). Qu'est-ce que c'est bien fait, sauf que l'argument de \(0 - i\), si jamais mon plan complexe, je me mets à \(0 - i\), \(0 - i\) c'est sur l'axe des imaginaires pur à \(-1\). Donc là j'ai \(-i\), son argument c'est cet angle, c'est \(-\pi/2\) tout simplement et du coup ça me fait \(-\pi/2\). Donc je viens de voir que ce petit angle qui est là, c'est en fait un angle droit tout simplement. Donc je suis éventuellement sur l'intersection entre les deux côtés qui ne sont pas l'hypoténuse d'un triangle rectangle. Vous avez compris l'histoire, on vous a mis plein d'exercices en dessous. Ça, ça tombe réellement au contrôle et surtout ça sert à faire des trucs plus compliqués qu'on va voir dans les compétences suivantes. À vous de jouer, vous êtes des champions.