15. Démontrer que des points complexes sont alignés

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir une compétence extrêmement simple : comment est-ce que je fais pour montrer que trois points sont alignés en utilisant les nombres complexes ? On se fait ça tout de suite.

Alignement de points avec les vecteurs

Pour montrer que trois points sont alignés, il va falloir réfléchir un peu. Quand vous aviez les vecteurs, c'était simple. S'il y avait un point A, un point B et un point C, pour montrer que ces trois points là étaient sur la même droite, vous choisissiez au hasard un vecteur AB et le vecteur AC, ou le vecteur AB et BC, peu importe, et vous montriez que ces vecteurs sont colinéaires. Sauf que la notion de colinéarité n'existe pas avec les nombres complexes. Nous, tout ce qu'on est éventuellement capable de calculer, c'est des angles. Sauf que regardez, si vos vecteurs AB et AC sont colinéaires, ça veut dire que l'angle qui est entre les deux, cet angle là, il vaut 0. Autrement dit, j'ai le droit d'écrire que l'angle entre AB et AC, il vaut 0. Oui, sauf que dans votre magnifique fiche, on vous a montré que l'angle entre deux vecteurs, c'était en fait l'argument du nombre complexe \(Z\) associé à AC. Autrement dit, l'affixe de AC divisé par l'affixe de AB, toujours à l'envers, la fin moins le début.

Calcul de l'argument

Donc cet argument, il devrait valoir 0. Oui, sauf que dans cette magnifique fiche, on vous a aussi montré que l'affixe du vecteur AC, c'était tout simplement l'affixe de C moins l'affixe de A. Donc ça, je peux le transformer en \(\text{arg}(Z_C - Z_A) / (Z_B - Z_A)\) et cet argument, il vaut 0. Ben formidable, on a plus qu'à calculer \(Z_C - Z_A\) sur \(Z_B - Z_A\) avec les valeurs qui sont données dans l'énoncé et ensuite vérifier que l'argument vaut 0. Petite question, si cet argument vaut 0, qu'est-ce qu'on peut déjà deviner à propos de \(Z_C - Z_A\) sur \(Z_B - Z_A\) ? Regardez, j'ai mon plan complexe, ça c'est mon \(Z_C - Z_A\) sur \(Z_B - Z_A\). Je veux que cet angle là, il vaille 0. C'est ça qu'on écrit, l'argument de \(Z_C - Z_A\) sur \(Z_B - Z_A\) = 0. Autrement dit, cet angle vaut 0. Autrement dit, ce point là, en réalité, il se situe plutôt ici ou ici, parce que 180, ça marche aussi. Or, s'il est sur cette droite, c'est quelle droite ça ? Bah, c'est la droite des réels. Ça veut dire que mon point, il est sur la droite des réels et il n'a aucune composante imaginaire. Autrement dit, mon \(Z_C - Z_A\) sur \(Z_B - Z_A\), on espère très très très très fort pour que ça soit un réel pur. Comment est-ce qu'on vérifie ça ? Ben, on va le calculer comme des bourrins. \(Z_C - Z_A\) sur \(Z_B - Z_A\), ça me fait \(3 + 17i - 1 - 3i\) divisé par \(2 + 2i - 1 - 3i\). Je vous rappelle qu'on veut que ce truc soit un réel pour que son argument vaille 0, pour que AB AC vaille 0, pour que les points ABC soient alignés. En haut, j'ai \(4 + 20i\). En bas, j'ai \(3 + 15i\). Je vois que en haut et en bas, je peux factoriser par 3. Attention, je ne jette pas tout de suite dans le machin, je vais multiplier en haut et en bas par le conjugué pour faire sauter les \(i\). Tranquille, d'abord je factorise. En haut, j'ai \(4(1 + 5i)\) et en bas, oh oh, le plaisir mathématique, \(3(1 + 5i)\). Voyez, si là, je m'étais lancé dans une boucherie de multiplication par le conjugué pour faire sauter \(i\), j'aurais pas vu ce petit truc délicieux là. Hop là, hop là, et du coup, ça me fait \(4/3\). Donc, \(Z_C - Z_A\) sur \(Z_B - Z_A\), c'est un nombre réel. Donc, l'argument de \(Z_C - Z_A\) sur \(Z_B - Z_A\) vaut 0. Donc, l'angle entre AB et AC vaut 0. Donc, les points A, B et C sont alignés. C'est aussi simple que ça, messieurs dames. On vous a mis plein d'exercices en dessous, à vous de jouer, vous êtes des champions.