7. Représenter un nombre complexes à partir de sa forme trigonométrique

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir comment faire pour représenter l'image d'un nombre complexe quand on vous a donné sa forme trigonométrique sans avoir à passer par la forme algébrique. On sait ça tout de suite, ça prend littéralement deux secondes.

Exemple de nombre complexe

Vous avez un nombre complexe du style \(3 \cos(\pi/4) + i \sin(\pi/4)\). Vous savez qu'il y a deux informations importantes là-dessus. C'est le petit 3 qui est là, qui représente la distance de mon point à l'origine du repère, et l'angle qui est là, qui représente l'angle que fait le vecteur qui part de l'origine et qui va jusqu'à mon point.

Représentation graphique

On va commencer par représenter la norme. Si mon nombre complexe a une norme ou un module de 3, ça veut dire qu'il est quelque part sur ce cercle là, le cercle qui a pour rayon 3 et qui tourne autour de mon axe. Donc ici, je sais que j'ai une distance de 3. Deuxièmement, l'angle que fait le point avec cette droite là, il est censé faire \(\pi/4\). Est-ce que là il fait \(\pi/4\)? Pas exactement. \(\pi/4\) c'est la moitié de 90°, donc c'est la bissectrice de l'angle à 90° qui est là. Donc j'ai juste à trouver quand est-ce que ce cercle mesure 90°, c'est-à-dire ici, et là j'ai mon point M. Donc là, je peux écrire que l'image de ce point c'est \(3 \cos(\pi/4) + i \sin(\pi/4)\).

Conclusion

En résumé, on commence par dessiner le cercle. Deuxièmement, on regarde sur le cercle quel est l'endroit qui nous permet d'avoir l'angle qui correspond au module de mon nombre complexe. Troisièmement, je place mon point et c'est terminé. On vous a mis tout plein d'exercices en dessous, à vous de jouer. Vous êtes des champions!