📖 Fiche résumée

Introduction à l'Interprétation Géométrique des Nombres Complexes

Le chapitre sur les nombres complexes en classe de Terminale, spécialité Maths Expertes, représente une étape fascinante où l'algèbre rencontre la géométrie. Si l'aspect purement calculatoire est fondamental, c'est bien leur interprétation géométrique qui en révèle toute la puissance et l'élégance. Cette fiche de cours se concentre sur cet aspect crucial, vous donnant les clés pour traduire des problèmes de géométrie plane en calculs avec les nombres complexes, et vice-versa. Maîtriser ces concepts est indispensable pour exceller dans cette partie du programme et aborder sereinement les épreuves du baccalauréat. Nous allons explorer comment chaque nombre complexe peut être vu comme un point ou un vecteur dans le plan, et comment les opérations sur ces nombres correspondent à des transformations géométriques.

Le Plan Complexe : Un Nouveau Terrain de Jeu

Pour visualiser les nombres complexes, on utilise le plan complexe (parfois appelé plan d'Argand-Cauchy). Il s'agit d'un plan muni d'un repère orthonormé direct (O; 𝒖𝒖, 𝒗𝒗). L'axe des abscisses est appelé l'axe des réels, et l'axe des ordonnées est l'axe des imaginaires purs.

L'Affixe d'un Point et d'un Vecteur

Chaque nombre complexe z = a + ib, où a et b sont des réels, peut être associé de manière unique à un point M de coordonnées (a, b) dans le plan complexe. On dit que z est l'affixe du point M. Réciproquement, tout point M(a,b) du plan est l'image d'un unique nombre complexe.

De la même manière, le nombre complexe z = a + ib peut être associé au vecteur �����⃗ 𝑶𝑶𝑴𝑴 de coordonnées (a, b). On dit que z est l'affixe du vecteur �����⃗ 𝑶𝑶𝑴𝑴. Cette double représentation est fondamentale pour la suite.

Les Trois Écritures Fondamentales d'un Nombre Complexe

Pour manipuler efficacement les nombres complexes et leurs applications géométriques, il est essentiel de maîtriser leurs trois formes d'écriture.

1. La Forme Algébrique : z = a + ib

C'est la forme la plus directe. Elle se compose d'une partie réelle, Re(z) = a, et d'une partie imaginaire, Im(z) = b. Géométriquement, a et b sont les coordonnées cartésiennes du point M associé à z. Cette forme est particulièrement adaptée pour les additions et les soustractions de nombres complexes, qui correspondent géométriquement à des additions de vecteurs (relation de Chasles).

2. La Forme Trigonométrique : z = r(cos θ + i sin θ)

Cette forme introduit deux concepts géométriques clés : le module et l'argument.

• Le module de z, noté |z| ou r, est la distance entre l'origine O et le point M d'affixe z. On le calcule avec la formule : r = |z| = √(a² + b²). Le module est toujours un nombre réel positif ou nul.
• L'argument de z, noté arg(z) ou θ, est une mesure (en radians) de l'angle orienté entre l'axe des réels positifs (le vecteur 𝒖𝒖) et le vecteur �����⃗ 𝑶𝑶𝑴𝑴. L'argument est défini à 2π près. On le détermine grâce aux relations : cos(θ) = a/r et sin(θ) = b/r.

La forme trigonométrique, z = r(cos θ + i sin θ), est donc une expression du nombre complexe en utilisant ses coordonnées polaires. Elle est particulièrement utile pour interpréter les multiplications et divisions en termes de rotations et d'homothéties.

3. La Forme Exponentielle : z = re^(iθ)

Cette notation, plus compacte, découle de la célèbre relation d'Euler : e^(iθ) = cos θ + i sin θ. La forme exponentielle z = re^(iθ) est la plus puissante pour les calculs de produits, de quotients, de puissances et de racines de nombres complexes. Les règles de calcul sont les mêmes que pour la fonction exponentielle réelle :

• Produit : re^(iθ) * r'e^(iθ') = (rr')e^(i(θ+θ'))
• Quotient : (re^(iθ)) / (r'e^(iθ')) = (r/r')e^(i(θ-θ'))
• Puissance : (re^(iθ))^n = r^n * e^(inθ)

Ces propriétés montrent que multiplier des nombres complexes revient à multiplier leurs modules et à additionner leurs arguments, ce qui a une interprétation géométrique directe.

Applications à la Géométrie Plane

C'est ici que la magie opère. Les nombres complexes deviennent un outil redoutable pour démontrer des propriétés géométriques.

Affixe d'un vecteur et distance

Soient deux points A et B d'affixes respectives z_A et z_B. L'affixe du vecteur ������⃗ 𝑨𝑨𝑩𝑩 est donnée par la formule fondamentale :

z_������⃗ 𝑨𝑨𝑩𝑩 = z_B - z_A

Cette simple soustraction permet de passer de la géométrie des vecteurs à l'algèbre des complexes. La norme du vecteur ������⃗ 𝑨𝑨𝑩𝑩, c'est-à-dire la distance AB, est alors simplement le module de son affixe :

AB = |z_B - z_A|

Grâce à cette formule, on peut par exemple démontrer qu'un triangle est isocèle, équilatéral, ou qu'un point appartient à un cercle ou à une médiatrice.

Mesure d'angles et argument

L'argument d'un nombre complexe est directement lié aux angles. Pour deux vecteurs 𝒖𝒖⃗ et 𝒗𝒗⃗ (non nuls) d'affixes z_u et z_v, l'angle orienté (𝒖𝒖⃗; 𝒗𝒗⃗) est donné par :

(𝒖𝒖⃗; 𝒗𝒗⃗) = arg(z_v / z_u) [2π]

Cette propriété est extrêmement puissante. En l'appliquant à des vecteurs formés par trois points distincts A, B, et C d'affixes z_A, z_B, et z_C, on obtient la mesure de l'angle (������⃗ 𝑨𝑨𝑩𝑩; ������⃗ 𝑨𝑨𝑪𝑪) :

(������⃗ 𝑨𝑨𝑩𝑩; ������⃗ 𝑨𝑨𝑪𝑪) = arg( (z_C - z_A) / (z_B - z_A) ) [2π]

Cette formule est au cœur de la résolution de problèmes géométriques. Elle permet de :

• Démontrer l'alignement de trois points A, B, C : Les points sont alignés si l'angle (������⃗ 𝑨𝑨𝑩𝑩; ������⃗ 𝑨𝑨𝑪𝑪) est nul ou plat, c'est-à-dire si le quotient (z_C - z_A) / (z_B - z_A) est un nombre réel.
• Démontrer l'orthogonalité de deux droites (AB) et (AC) : Les droites sont perpendiculaires si l'angle (������⃗ 𝑨𝑨𝑩𝑩; ������⃗ 𝑨𝑨𝑪𝑪) est droit, c'est-à-dire si le quotient (z_C - z_A) / (z_B - z_A) est un nombre imaginaire pur.
• Caractériser un triangle rectangle isocèle, un triangle équilatéral, etc. en étudiant à la fois le module et l'argument de ce quotient.

Formules Clés à Maîtriser Absolument

Deux ensembles de formules, découlant de la forme exponentielle, sont des outils de calcul indispensables.

La Formule de Moivre

Pour tout entier relatif n, la formule de Moivre stipule :

(cos θ + i sin θ)^n = cos(nθ) + i sin(nθ)

En notation exponentielle, cela devient l'évidente relation (e^(iθ))^n = e^(inθ). Cette formule est essentielle pour calculer les puissances d'un nombre complexe. Elle sert également de base pour retrouver de nombreuses formules de trigonométrie, comme les expressions de cos(2x) ou sin(3x) en fonction de cos(x) et sin(x).

Les Formules d'Euler

Ces formules permettent de relier les fonctions cosinus et sinus à l'exponentielle complexe. Pour tout réel θ :

• cos θ = (e^(iθ) + e^(-iθ)) / 2
• sin θ = (e^(iθ) - e^(-iθ)) / (2i)

Leur application principale en Terminale est la linéarisation d'expressions trigonométriques. Par exemple, pour exprimer cos³(x) en une somme de termes en cos(kx), on remplace cos(x) par sa formule d'Euler, on développe avec le binôme de Newton, puis on regroupe les termes pour faire réapparaître des cosinus et des sinus. Cette technique est fondamentale pour le calcul de primitives.

Synthèse et Stratégie

La clé du succès est de savoir naviguer entre les différentes formes et d'utiliser la plus appropriée à chaque situation.

• Utilisez la forme algébrique pour les additions, les soustractions et l'identification des parties réelle et imaginaire.
• Privilégiez les formes trigonométrique et exponentielle pour les multiplications, divisions, puissances, et surtout, pour toutes les interprétations géométriques impliquant des distances (modules) et des angles (arguments).

Pour résoudre un problème de géométrie avec les nombres complexes, la méthode est souvent la même :

1. Traduire l'énoncé géométrique (points, vecteurs, distances, angles) en termes d'affixes de nombres complexes.
2. Calculer en utilisant les propriétés des modules et des arguments (souvent avec le quotient magique (z_C - z_A) / (z_B - z_A)).
3. Interpréter le résultat numérique (un réel, un imaginaire pur, un complexe de module 1, etc.) pour en tirer une conclusion géométrique.

Cette fiche vous a présenté les concepts et les formules essentiels reliant les nombres complexes à la géométrie. Pour une compréhension approfondie, des exemples détaillés, des démonstrations complètes et des exercices d'application corrigés, nous vous invitons à consulter la version complète du cours et les ressources disponibles sur Galilee.ac. La pratique régulière est la seule voie pour acquérir les automatismes qui feront la différence.