8. Forme exponentielle d'un nombre complexe

Introduction

Allez les amis, maintenant que nous avons bien vu la forme trigonométrique, nous allons voir comment donner la forme exponentielle à un nombre complexe. C'est très simple, nous allons le faire tout de suite. La forme exponentielle d'un nombre complexe, comme indiqué dans la fiche qui apparaît devant vos yeux, est une forme où nous utilisons le module et l'argument et les mettons respectivement devant et à l'intérieur d'une exponentielle avec un petit \(i\) pour rappeler que nous sommes dans les complexes.

Conversion de la forme algébrique à la forme exponentielle

Comment fait-on cela ? Quand nous partons d'une forme \(a + iB\), par exemple \(1 - \sqrt{3}i\), nous travaillons d'abord pour mettre cette forme sous une forme trigonométrique, donc \(r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))\). Une fois que nous avons fait cela, nous avons juste à dire que notre forme exponentielle est \(r e^{i\theta}\). Pourquoi utilisons-nous une forme exponentielle ? Vous allez voir que c'est la forme la plus puissante de toutes. Elle nous permet de faire énormément de calculs avec cela, notamment des calculs d'arguments, des calculs de normes, mettre des nombres complexes à des puissances énormes sans avoir besoin d'utiliser les formules des triangles de Pascal et de faire des développements complètement tordus. Bref, cette forme est globalement une des plus puissantes de toutes les formes. Nous allons le faire ensemble sur \(1- \sqrt{3}i\) et ensuite vous pourrez aller faire les exercices qui sont en dessous.

Exemple de conversion

Je vous rappelle que pour donner la forme trigonométrique d'un nombre, c'est-à-dire pour trouver son module et son argument, nous avons fait une petite vidéo là-dessus qui est la compétence 5 que vous pouvez trouver sur Surger les points C. Mais je vous le refais ici tranquillement. Nous commençons par calculer la norme \(r\), c'est \(\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2\). Deuxième étape, je vais prendre mon nombre complexe, appelons-le \(Z\), et je vais faire apparaître cette \(n\) pour faire une factorisation forcée. Donc je vais dire que c'est \(2(1/2 - \sqrt{3}/2i)\). Troisième étape, une fois que j'ai fait cela, je sais que nécessairement mon nombre complexe est \(2(\cos(\theta) + i\sin(\theta))\) avec \(\theta\) qui est l'argument du nombre complexe. Donc j'ai un petit système que je peux faire par identification qui est de dire que nécessairement mon \(\cos(\theta) = 1/2\) et mon \(\sin(\theta) = -\sqrt{3}/2\). On utilise la première ligne pour trouver la valeur absolue de l'angle et on utilise la deuxième ligne pour trouver le signe de l'angle. Regardez, j'ai un \(\cos(\theta)\) qui vaut \(1/2\), donc soit vous le faites avec la calculatrice avec \(\arccos\), soit vous connaissez à peu près votre cercle et vous dites que pour avoir un \(\cos(\theta)\) qui vaut \(1/2\), l'angle qui correspond est \(\pi/3\). Le problème c'est que \(-\pi/3\) me donnerait aussi un \(\cos(\theta) = 1/2\). Donc comment puis-je faire pour arbitrer, savoir si c'est \(\pi/3\) ou \(-\pi/3\) que je vais garder ? Je regarde tout simplement le signe du sinus. Mon sinus est négatif, donc c'est bien \(-\pi/3\) que je vais garder comme argument. Et une fois que je suis là, j'ai juste à dire que mon \(r\) que j'ai calculé au début est \(2\) et que l'angle, mon argument, l'angle de ce vecteur, de ce nombre complexe, est \(-\pi/3\). Et à partir de là, je peux donner très rapidement à la fois la forme trigonométrique \(Z = 2(\cos(-\pi/3) + i\sin(-\pi/3))\) ou je peux donner directement la formulation exponentielle \(Z = 2e^{-i\pi/3}\).

Conclusion

Vous savez maintenant comment calculer la forme exponentielle d'un nombre complexe. Nous allons voir dans la prochaine compétence à quoi cela peut nous servir et comment cela peut nous sortir de situations extrêmement compliquées. Notamment, je vous fais un petit spoiler, si je veux calculer \(Z^{157}\), vous savez déjà comme c'est compliqué de le calculer à la puissance 2, vous savez déjà que c'est un \((a - b)^2\), imaginez à la puissance 3, imaginez à la puissance 157. Et bien, nous allons nous rendre compte que ce genre de calcul avec une notation exponentielle est extrêmement facile à régler. Nous faisons cela dans la prochaine compétence. En attendant, allez faire les exercices qui sont en dessous. À vous de jouer, vous êtes des champions !