3. Affixe du milieu de deux points

Introduction

Allez les amis, on apporte un petit peu de complication. Comment est-ce qu'on fait pour calculer l'affixe du milieu entre deux points dans le plan complexe ? C'est tout simple, on se fait ça tout de suite.

Calcul du milieu de l'affixe

Pour calculer le milieu de l'affixe, il y a deux options. Une option de galérien qui consiste à dire : "Bon, ce point M dont l'affixe est \(3 - 2i\) ou ce point M qui est l'image de \(3 - 2i\), n'oubliez pas le vocabulaire, je vais commencer par le représenter." Donc \(3 - 2i\), j'ai mon plan réel, j'ai mon axe des réels, mon axe des imaginaires. \(3 - 2i\) ça veut dire 3 en partie réelle donc 1, 2, 3 et -2 en partie imaginaire, attention surtout pas 2, et je me retrouve donc ici. Ça c'est mon point M. Mon point P, je fais pareil, \(2 + 4i\), donc 1, 2, 3, 4 et hop, je vais chercher l'intersection qui est à peu près ici. Donc moi, je veux le milieu entre ces deux points, donc le point qui est exactement là, i. Première option, option de galérien, c'est : vous avez fait un beau schéma, vous prenez vos mesures sur votre papier, mais autant vous dire que ça, ça vaut strictement rien. Deuxième option, c'est de dire : "Bon, finalement le milieu là, sur cet axe des réels, je suis à 3 et là je suis à 2, donc je pense que ce point là, le milieu, ça devrait être entre 3 et 2, donc 2,5. Ensuite, sur l'axe des imaginaires, là je suis à -2 et là je suis à 4, a priori le milieu entre -2 et 4, ça serait quelque chose comme 1, donc là j'ai 1. Donc j'ai envie de dire, graphiquement et en faisant une moyenne un peu avec les fesses, que ce point I, son affixe, c'est sur le plan réel 2,5 et sur le plan imaginaire 1, donc \(+ 1 \times i\), donc plus i."

La vraie formule pour le calcul du milieu

Ça, c'est une technique qui vaut rien du tout. La vraie formule pour le faire, c'est que le milieu entre deux points A et B d'affixes \(z_A\) et \(z_B\), c'est le point I avec \(\frac{z_A + z_B}{2}\). Autrement dit, pour trouver le milieu entre ça et ça, j'ai juste à faire \(I = \frac{(3 - 2i) + (2 + 4i)}{2}\) et je me retrouve avec \(- 2i + 4i = 2i\) et \(3 + 2 = 5\), donc \(2,5 + i\) et je retrouve bien ce que j'avais deviné de manière extrêmement schlag ici. Est-ce que ça vous rappelle rien cette technique là ? Mais oui, ça vous rappelle quelque chose. Les coordonnées du milieu entre deux points, ça a toujours été la moyenne des coordonnées. Le milieu entre A et B, c'est \(\frac{x_A + x_B}{2}\), \(\frac{y_A + y_B}{2}\). Dans cette formule, vu qu'on a \(x\) et \(y\) qui sont contenus dans \(z\), on fait juste \(\frac{z_A + z_B}{2}\). Là, normalement, ça commence à vous travailler que tu as un nombre complexe, ça commence à ressembler vachement à un point et qu'est-ce qu'on peut faire avec des points ? Qu'est-ce qu'on fait avec des points ? Ben, on fait des vecteurs. Ah, je veux pas vous spoiler, il y a des petits exercices en dessous. Prochaines compétences, on regarde comment est-ce qu'on se sert des nombres complexes en tant qu'affixes, non pas de points, mais de vecteurs. À vous de jouer, vous êtes des champions.