18. Résoudre une équation avec des complexes et des arguments

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir une des compétences qui, à mon sens, peut être la plus complexe sur les nombres complexes. Petite blague, c'est celle qui consiste à retrouver des lieux géométriques à partir d'équations avec des arguments et des \(\pi\). Vous allez voir, ce n'est pas si évident, quoi que, avec la belle fiche, on s'en sort à peu près. On se fait ça tout de suite.

Résolution du problème

Pour régler ce genre de problème, il va falloir premièrement avoir la fiche pour se rendre compte qu'entre que l'angle entre deux vecteurs, ça peut s'exprimer en un argument avec une différence de nombre complexe. Deuxièmement, bien observer l'argument qu'on vous demande d'étudier. Donc moi, j'ai \(\text{arg}(Z - 3) / (Z + 2i) = \pi/2\). Le problème, c'est comment est-ce qu'on va faire pour transformer ce truc là, cet argument \(Z - 3 / Z + 2i\), en quelque chose qui soit exploitable géométriquement. Regardez la formule que je vous ai mise au-dessus. Quand on a un argument avec une différence de complexe en haut et une différence de complexe en bas, c'est en fait l'angle entre deux vecteurs. Donc notre première priorité, ça va être de, comme d'habitude, identifier des points, donner des noms à ces points et transformer ça en quelque chose qui soit interprétable géométriquement. Premier objet, \(Z\). Bon, \(Z\) c'est facile, l'énoncé nous le dit, \(Z\) c'est les coordonnées du point \(M\), c'est l'affixe du point \(M\). Donc on sait que le point \(M\), son affixe, c'est \(Z\). Ensuite, \(3\), on a qu'à dire que c'est un point \(A\). Donc moi, je crée un point \(A\) qui a pour affixe \(3\). Et ensuite, je crée un point \(2i\) qui a pour affixe \(B\). Pourquoi \(2i\) ? Parce que moi, je veux qu'en bas ça soit \(Z - B\). Donc si je prends \(2i\) ici, je me retrouve avec \(Z - (-2i)\). Je modifie maintenant légèrement mon écriture. Mon argument, ça devient \(\text{arg}(Z - A) / (Z - B) = \pi/2\). Ok, maintenant j'ai un argument qui est sous cette forme là. Donc en fait, l'argument de \((Z - A) / (Z - B)\) c'est en fait l'angle entre \(AB\) et \(AC\). Donc ça, c'est l'angle entre \(BM\) et \(AM\). Donc là, j'ai \(BM\), à cet angle, il doit valoir \(\pi/2\). Ok, j'ai transformé ma notation avec l'argument en une notation qui concerne des vecteurs et quelque chose que je manipule plutôt bien. Comment est-ce qu'on essaie de résoudre ça graphiquement ? On va faire un petit dessin.

Interprétation graphique

Déjà, on va placer un point pif sur une feuille blanche. Disons que j'ai mon point \(A\) qui est là, j'ai mon point \(B\) qui est là et je récris la condition que j'ai trouvé juste avant. La condition étant \(\angle BMA = \pi/2\). Donc je veux \(\angle BMA = \pi/2\). Donc déjà, on se dit, bon, \(\angle BMA = \pi/2\), \(\pi/2\) c'est un angle droit. Ça veut dire que le point \(M\) a priori, il fait un angle droit. Donc ici, à condition que j'ai un angle droit, je puisse dessiner un triangle rectangle. Ce point \(M\), ça devrait passer. Oui, mais si je raccourcis un peu et je me place par là, est-ce que ça passerait pas aussi ? Bah oui, il y en a un deuxième de triangle rectangle. Donc là, il faut se souvenir que si vous avez \(AB\) qui est l'hypoténuse, tous les triangles rectangles que vous pouvez faire avec \(AB\) en hypoténuse, c'est les triangles rectangles qui sont sur le cercle de diamètre \(AB\). Donc en fait, tous les points \(M\) possibles, c'est les points qui sont sur le cercle. Et plus clair, donc est-ce que j'ai l'option de faire des formes avec ce truc ? Je ne sais pas, je pense que je peux faire des cercles. Est-ce que j'ai des petites formes ? Comment est-ce que je peux faire des petites formes ? Non, je ne peux pas faire de petites formes. Donc vous allez devoir subir mon dessin qui est un peu pourri parce que la tablette pour dessiner un cercle, ce n'est pas facile. Donc voilà, je sais que mes points \(M\), ils sont en gros sur ce cercle parce que où que je mette mon point \(M\), j'arrive à faire un triangle rectangle. Donc j'ai un triangle rectangle, donc j'ai un angle de \(\pi/2\), et ainsi de suite, et ainsi de suite. Problème, regardez, prenons ce point \(M\) ici. Mon vecteur \(BM\), c'est celui-là. Mon vecteur \(AM\), c'est celui-là, mais je vais le recopier ici. Maintenant, si je prends l'angle entre \(BM\), c'est-à-dire ce premier vecteur, et \(AM\), ce deuxième vecteur, \(\angle BMA\), je pars de \(BM\) et je vais vers \(AM\), c'est cet angle là. Problème, cet angle là, il ne vaut pas \(\pi/2\), il vaut \(-\pi/2\) parce que je tourne dans le sens horaire qui est dans le sens indirect. Donc en fait, ce point, il ne peut pas y être. Ce point non plus, ce point là non plus, ce point non plus. Donc tous ceux qui sont du côté de ce demi-cercle, je suis obligé de les virer. Donc je sais déjà que ma solution, elle ne contiendra pas tous les points qui sont au-dessus de mon diamètre \(AB\). Ok, question, est-ce que sur le demi-cercle qui reste, c'est-à-dire ici, j'ai le bon angle ? Ben, je recommence l'expérience. Je mets un point \(M\) ici. Mon vecteur \(BM\), c'est celui-là. Mon vecteur \(AM\), c'est celui-là que je colle ici. Et cette fois-ci, quand je vais de \(BM\), c'est de ce vecteur là à ce vecteur là, je tourne bien dans le sens direct. Du coup, j'ai \(\pi/2\) qui est bien la valeur que je dois avoir. Conclusion, la solution de l'équation \(\text{arg}(Z - 3) / (Z + 2i) = \pi/2\) c'est ce demi-cercle là. Et là, dans votre copie, à part le représenter sous forme d'un dessin, vous n'avez aucun autre moyen de le faire. On vous a mis des petits exercices en dessous, ce n'est pas facile, entraînez-vous. Ça, c'est vraiment les derniers points du contrôle. À vous de jouer, vous êtes des champions.