14. Montrer qu'un triangle est rectangle, isocèle ou équilatéral avec les complexes

Introduction

Allons-y, mes amis, nous allons étudier la nature d'un triangle en utilisant les nombres complexes. Vous verrez, c'est très simple. Nous allons commencer tout de suite.

Typologie des triangles

Petite indication sur ce que signifie "étudier la nature d'un triangle". Vous avez un triangle ABC. Nous savons tous globalement qu'un triangle ressemble à une pyramide. Nous allons en faire une petite typologie en termes de côtés. Nous avons trois possibilités : - Si les trois côtés sont de même longueur, nous appelons cela un triangle équilatéral. - Si deux côtés sont de la même longueur, nous disons qu'il est isocèle. - S'il n'y a aucun côté de la même longueur, nous dirons qu'ils sont quelconques. C'est une première typologie. Deuxième typologie : aussi bien pour les triangles quelconques que pour les triangles isocèles, nous pouvons nous demander s'il y a un angle droit quelque part. Dans ce cas, c'est un triangle rectangle. Pour le triangle équilatéral, nous savons qu'il n'y en a pas, car chacun des angles vaut \(\pi/3\), donc aucun ne vaut \(\pi/2\), donc aucun n'est perpendiculaire. Ces triangles là, quelconques avec un angle droit, seront des triangles rectangles quelconques. Quelconques sans angle droit, isocèles rectangles ou isocèles non rectangles et enfin équilatéraux. Donc au final, 5 possibilités pour étudier cette première phase. Pour la phase quelconque, isocèle ou équilatérale, nous allons calculer les longueurs. Pour utiliser la deuxième phase, nous allons employer le théorème de Pythagore ou plus précisément la réciproque du théorème de Pythagore.

Application avec les nombres complexes

Dans le cas de notre triangle ABC, nous n'avons pas de dessin, nous ne pouvons pas mesurer à la règle. En mathématiques, c'est très rare, surtout en terminale, qu'on vous demande de mesurer à la règle. Par contre, ce que nous avons, ce sont les nombres complexes qui sont associés à chacun de ces points. Donc le nombre complexe associé à A est 1, pour B c'est 1 et pour C c'est \(1- 2i\). Nous savons que ces points A, B, C ont chacun une affixe, mais que les vecteurs AB, AC et BC ont aussi des affixes. L'affixe du vecteur AB, que nous allons écrire \(Z_{ab}\), est simplement \(Z_b - Z_a\), donc \(-1 - 1\) et \(- 1 - 1\) ça fait \(- 2\). Donc je sais que l'affixe du vecteur AB est \(- 2\). Si je veux calculer la longueur de AB, du vecteur AB ou la longueur du segment AB, j'ai juste à calculer la norme de l'affixe de AB et cette norme c'est \(\sqrt{a^2 + b^2}\), racine de la partie imaginaire au carré, c'est-à-dire la partie réelle au carré, c'est-à-dire ça plus la partie imaginaire, c'est-à-dire en fait \(0^2\). Donc ça me fait \(\sqrt{(- 2)^2 + 0^2}\), ça me fait \(\sqrt{4}\), ça me fait donc 2. Félicitations, vous venez de voir comment on fait pour calculer la longueur d'un côté dans un triangle en utilisant les complexes. On va recommencer avec les trois côtés. \(Z_{ab}\) c'est bon. \(Z_{ac}\) c'est \(Z_c- Z_a\), donc c'est \(- 1 - 2i - 1\) parce que \(Z_c\) c'est 1 et ça me fait \(- 2 - 2i\). Pour calculer AC, je vais faire \(\sqrt{(- 2)^2 + (- 2)^2}\), ça me fait \(\sqrt{8}\), donc ça me fait \(2 \sqrt{2}\). Premier point, là on a un côté qui vaut 2, là on a un côté qui vaut \(2\sqrt{2}\), on sait déjà qu'on n'est pas face à un triangle équilatéral, les trois côtés ne sont pas égaux puisqu'on en a déjà deux qui sont différents. Il reste plus qu'un triangle quelconque ou un triangle isocèle. Pour statuer, on va calculer le dernier côté, donc le côté CB. \(Z_{cb}\) c'est \(Z_b- Z_c\), donc \(-1 - (1 + 2i)\) et ça me fait tout simplement \(- 1 - 1 + 2i\). Donc mon côté \(Z_{cb}\), cette longueur, c'est la norme du complexe \(Z_{cb}\). Pour le calculer, c'est donc \(\sqrt{(- 1)^2 + 2^2}\), c'est simple, j'ai un premier côté qui vaut 2 et un deuxième côté qui vaut 2, donc je peux déjà dire que le triangle est isocèle. C'est une première chose, sauf que quand on vous demande d'étudier la nature, on vous demande d'aller plus loin. Isocèle, ok, mais rectangle ou pas rectangle ? On va vérifier ça tout de suite. Si le triangle est rectangle, la réciproque du théorème de Pythagore est validée, autrement dit le plus grand côté, c'est-à-dire lui, au carré, devrait être égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Donc moi je vais mettre \((2\sqrt{2})^2\) et est-ce que ça, ça va être égal à \(2^2 + 2^2\) ? Si oui, alors d'après la réciproque du théorème de Pythagore, ça devrait être le cas. Or \((2\sqrt{2})^2\) ça me fait \(2^2 \times (\sqrt{2})^2\) et ça me fait tout simplement \(4 \times 2 = 8\). Or \(2^2 + 2^2\) ça me fait \(4 + 4 = 8\). Donc la réciproque du théorème de Pythagore est vérifiée, donc le triangle, en plus d'être isocèle, est aussi rectangle. Félicitations, vous savez comment, à partir des nombres complexes, déterminer la nature d'un triangle. C'est une bonne chose, car nous avons préparé quelques exercices un peu plus corsés pour vous. À vous de jouer, vous êtes des champions.