Ce que demande cet exercice

Ce vaste problème vous plonge dans une situation concrète de conception et de commercialisation de flacons de parfum pour une entreprise. Il est découpé en trois grandes parties indépendantes qui mobilisent des champs mathématiques variés.

Dans un premier temps, vous devrez comparer trois formes géométriques différentes pour ces flacons en calculant et en comparant leurs volumes respectifs. Vous traiterez ensuite les résultats d'une enquête de satisfaction client à l'aide d'outils statistiques élémentaires. La deuxième partie se concentre sur l'aspect économique : après un calcul de conditionnement nécessitant des conversions d'unités, vous modéliserez deux propositions tarifaires de fournisseurs à l'aide de fonctions. Il vous faudra les représenter graphiquement puis déterminer, tant par la lecture graphique que par le calcul algébrique, le seuil de rentabilité de chaque offre. Enfin, la dernière partie s'intéresse à l'emballage cylindrique des flacons, vous demandant de concevoir un patron avec justifications, de calculer son aire totale, puis d'utiliser une grandeur quotient pour en déduire la masse finale.

Les notions a maitriser

• Calcul de volumes et d'aires : appliquer les formules pour le parallélépipède, le cylindre et la pyramide, y compris en cas de réduction.
• Statistiques descriptives : calculer des pourcentages et déterminer les angles nécessaires à la construction d'un diagramme circulaire.
• Fonctions affines : exprimer des situations sous forme de fonctions, tracer leurs représentations graphiques et résoudre des équations et inéquations pour les comparer.
• Géométrie dans l'espace : concevoir et justifier les dimensions du patron d'un solide usuel comme le cylindre de révolution.
• Grandeurs composées : manipuler des conversions d'unités de contenance et de volume, et utiliser une masse surfacique.

Methode et pieges

La principale difficulté de ce problème réside dans sa longueur et la diversité des notions abordées, ce qui demande une bonne gestion du temps de composition. Prenez le temps de bien lire chaque partie avant de vous lancer, car elles sont largement indépendantes : bloquer sur le calcul des volumes ne doit pas vous empêcher de traiter la modélisation fonctionnelle ou la construction du patron. Lors du calcul des volumes de la première partie, soyez particulièrement vigilant concernant le flacon pyramidal. L'énoncé précise en effet qu'il s'agit d'une pyramide tronquée. Le volume utile s'obtient donc en soustrayant le volume de la petite pyramide (le bouchon) au volume de la grande pyramide. Pensez à bien justifier vos étapes, notamment si vous utilisez le rapport de réduction pour le volume du bouchon.

Dans la partie économique consacrée aux fonctions, la rigueur est de mise lors du tracé des droites représentatives. Respectez scrupuleusement les échelles imposées sur les deux axes de votre repère orthogonal et n'oubliez pas de graduer et de nommer ces axes clairement. Pour déterminer le fournisseur le plus avantageux, la lecture graphique vous donnera une première estimation visuelle du seuil de rentabilité. Celle-ci devra impérativement être confirmée avec exactitude par la résolution algébrique d'une inéquation. Enfin, pour la dernière partie sur l'emballage, la conception du patron nécessite d'expliquer vos calculs : la longueur du rectangle formant la surface latérale du cylindre correspond au périmètre du disque de base, une relation fondamentale à expliciter. Faites également très attention aux conversions d'unités tout au long du problème. C'est particulièrement vrai pour le calcul de la masse finale, où vous devrez accorder l'aire calculée avec la masse surfacique exprimée dans une autre unité de surface.