Ce que demande cet exercice
Cet exercice classique de l'épreuve de mathématiques du concours de recrutement de professeurs des écoles vous plonge dans une situation concrète d'expérience aléatoire à deux épreuves. L'énoncé met en scène deux personnages effectuant des tirages de boules dans une urne opaque contenant un nombre très restreint d'éléments de deux couleurs différentes. La subtilité majeure réside dans la nature de ces expériences : l'un des protagonistes effectue ses tirages avec remise de la première boule tirée, tandis que le second procède à des tirages sans remise.
Dans un premier temps, il vous est demandé d'expliciter de manière exhaustive l'univers des possibles pour chacune des deux expériences. Vous devez dresser la liste complète des couples de résultats envisageables en distinguant soigneusement les boules de même couleur grâce aux notations fournies par le sujet. Dans un second temps, l'exercice requiert d'analyser l'affirmation d'une tierce personne concernant la probabilité d'obtenir une couleur spécifique lors du deuxième tirage pour les deux situations distinctes. Vous devrez alors justifier rigoureusement votre position face à cette allégation en vous appuyant sur les dénombrements effectués précédemment.
Les notions a maitriser
- Modélisation d'une expérience aléatoire : capacité à traduire une situation décrite en langage naturel (tirage avec ou sans remise) en un modèle mathématique pertinent.
- Dénombrement systématique : aptitude à lister tous les cas possibles d'une expérience à deux étapes sans en oublier et sans créer de doublons, par exemple à l'aide d'un arbre de probabilité ou d'un tableau à double entrée.
- Calcul de probabilités simples : maîtrise de la formule fondamentale liant le nombre de cas favorables au nombre de cas possibles dans une situation d'équiprobabilité.
- Argumentation mathématique : compétence indispensable au CRPE permettant de valider ou de réfuter une proposition en s'appuyant sur des calculs explicites et un raisonnement logique déductif.
Methode et pieges
Pour aborder cet exercice avec sérénité, la méthode la plus efficace consiste à structurer visuellement votre raisonnement. L'utilisation d'arbres de probabilités est vivement recommandée pour illustrer les deux expériences aléatoires successives. Prenez soin de construire un arbre distinct pour le personnage réalisant le tirage avec remise et un autre pour celui effectuant le tirage sans remise. Cette représentation graphique vous permettra non seulement de visualiser l'ensemble des branches, mais aussi de compter aisément le nombre total d'issues pour la première question. Lisez très attentivement l'énoncé : on vous impose de différencier les deux boules blanches. Traitez-les donc comme des entités distinctes lors de votre dénombrement de toutes les issues de ces probabilités.
Le piège principal de ce type de sujet réside dans la confusion entre les tirages avec et sans remise, particulièrement lors de la seconde étape de l'expérience aléatoire. N'oubliez pas que pour le tirage sans remise, la composition de l'urne évolue systématiquement après le premier tirage, ce qui modifie inévitablement l'univers des possibles pour le second. Lors de la rédaction de votre justification pour la deuxième question, veillez à bien expliciter vos calculs de probabilités pour chaque personnage avant de conclure de manière hâtive. Une simple affirmation ne saurait suffire face à un jury d'examen. Il est impératif de démontrer correctement que vous maîtrisez parfaitement le passage délicat du dénombrement global au calcul formel de la probabilité demandée, en identifiant clairement les cas favorables parmi l'ensemble des issues précédemment listées sur vos brouillons.