Ce que demande cet exercice

L'énoncé de ce troisième exercice du groupement 2 vous plonge dans une situation concrète de modélisation géométrique en trois dimensions. Vous étudiez tout d'abord un pavé droit classique dans lequel on décide d'évider une pyramide, créant ainsi un solide creusé. Dans un premier temps, la hauteur de cette pyramide est numériquement fixée. Vous devrez mobiliser vos solides connaissances en géométrie plane pour calculer la longueur d'une demi-diagonale et pour construire un triangle rectangle en vraie grandeur. Il vous faudra ensuite déterminer les différents volumes en jeu afin de valider cette première étape.

Dans un second temps, le problème se généralise en posant la hauteur de la pyramide comme une variable algébrique. Le solide creusé sert désormais de socle en bois à une nouvelle pyramide en verre, présentée comme un agrandissement exact de la pyramide évidée. Vous serez amené à exprimer plusieurs volumes sous forme d'expressions littérales, puis à résoudre une équation pour répondre à une condition d'égalité. L'exercice bascule ensuite vers l'analyse fonctionnelle, en vous demandant d'associer des fonctions affines et linéaires à leurs représentations graphiques, puis de résoudre un problème d'optimisation par lecture graphique et par la résolution d'une inéquation.

Les notions a maitriser

• Calcul des volumes dans l'espace : maîtrise des formules appliquées aux pavés droits et aux pyramides, ainsi que le repérage de la hauteur et de la base.
• Géométrie plane et théorèmes classiques : stricte application du théorème de Pythagore et tracé de figures géométriques en vraie grandeur.
• Agrandissement et réduction : compréhension de l'effet d'un coefficient de proportionnalité sur les volumes d'un solide.
• Modélisation et traitement algébrique : mise en équation d'un problème géométrique et résolution rigoureuse d'équations et d'inéquations du premier degré.
• Analyse de fonctions : identification de droites représentatives associées aux fonctions linéaires et affines dans un repère orthogonal.

Methode et pieges

Pour aborder sereinement la première partie de cet exercice, prêtez une attention particulière à la représentation spatiale des figures. Le calcul de la longueur de la diagonale exige d'identifier correctement le triangle rectangle pertinent dans la base rectangulaire du pavé. N'oubliez pas que la hauteur d'une pyramide droite est perpendiculaire à sa base, une propriété indispensable pour justifier la nature du triangle à construire en vraie grandeur. Lors de vos calculs, veillez attentivement à bien soustraire le volume de la pyramide à celui du pavé pour trouver le volume du socle.

La transition vers la deuxième partie requiert de la rigueur dans votre manipulation de la variable algébrique. Le principal piège de cet exercice réside dans l'utilisation du rapport d'agrandissement : rappelez-vous qu'un agrandissement affecte les volumes selon une règle très précise, à ne pas confondre avec l'agrandissement des longueurs. En abordant l'analyse graphique, observez scrupuleusement l'ordonnée à l'origine et le sens de variation de chaque droite pour justifier l'association entre les expressions fonctionnelles et leurs tracés. Enfin, lorsque vous résolvez l'inéquation, prenez le temps de rédiger chaque étape de votre calcul avec clarté afin de confirmer votre lecture graphique.