Ce que demande cet exercice

Cet exercice issu de l'épreuve de mathématiques du concours vous confronte à l'étude comparée de deux programmes de calcul distincts. Dans une première partie, vous devez analyser un algorithme visuel conçu avec le logiciel Scratch par un élève nommé Adam. Votre tâche consiste à le tester avec des nombres entiers puis décimaux, avant de généraliser son expression sous la forme d'un polynôme du second degré.

Dans un second temps, le sujet vous présente le programme de calcul de Pauline, formulé cette fois-ci sous la forme d'une succession d'instructions textuelles. Vous serez amené à évaluer ce programme avec un entier puis avec un nombre en écriture fractionnaire. L'exercice vous demande ensuite de démontrer que les deux algorithmes sont équivalents pour n'importe quel nombre de départ. Enfin, il vous faudra déterminer les antécédents de zéro par cette fonction algorithmique et trouver la bonne formule de tableur permettant de l'automatiser.

Les notions a maitriser

• La lecture d'algorithmes : vous devez être capable de traduire une séquence de blocs Scratch ainsi qu'une liste d'instructions textuelles en une suite d'opérations mathématiques.
• Le calcul littéral : il est impératif de savoir développer, réduire et ordonner une expression algébrique pour prouver l'équivalence de deux programmes.
• La résolution d'équations : le sujet exige de trouver les valeurs annulant le programme, ce qui vous amène à résoudre une équation produit nul après avoir éventuellement factorisé ou identifié une expression adéquate.
• L'utilisation du tableur : vous devez connaître la syntaxe des formules de calcul dans un tableur, notamment la manière de référencer une cellule et d'étirer une formule sans générer d'erreurs.
• Le calcul sur les fractions : la manipulation des nombres rationnels est évaluée lors de l'exécution du programme de Pauline avec une valeur fractionnaire.

Methode et pieges

Pour aborder sereinement ce type de problème, il est essentiel de procéder avec méthode et de ne pas brûler les étapes. Lors de la traduction du programme Scratch, soyez particulièrement vigilant à l'ordre des opérations dicté par les emboîtements des blocs. Une erreur classique consiste à confondre l'affectation successive des variables avec des opérations indépendantes. Prenez le temps de noter sur votre brouillon la valeur mathématique de chaque variable intermédiaire en fonction de l'inconnue de départ. Cela vous évitera de vous perdre dans les calculs lorsque vous passerez à la généralisation algébrique.

Concernant la preuve de l'équivalence entre les deux programmes, la méthode la plus sûre est d'exprimer le résultat de chaque programme en fonction d'une même lettre désignant le nombre initial. En développant et en réduisant les deux expressions obtenues, vous devriez aboutir exactement au même polynôme. Attention également à la question demandant pour quelles valeurs le résultat est nul. Ne cherchez pas à résoudre l'équation du second degré développée si vous ne maîtrisez pas les outils du lycée. Revenez plutôt à une forme factorisée, souvent cachée dans les étapes précédentes de l'algorithme, afin d'appliquer la règle du produit nul. Enfin, pour la question du tableur, n'oubliez pas que toute formule doit impérativement commencer par un signe spécifique et que les références aux cellules doivent correspondre à la ligne de la première saisie.