Ce que demande cet exercice

Cet exercice, issu de la session 2015 du groupement 2 de l'épreuve de mathématiques, vous plonge dans une situation concrète et très classique de partage. Un fleuriste dispose d'un stock de deux variétés distinctes de fleurs. Son objectif est de confectionner des assortiments parfaitement identiques les uns aux autres. La contrainte principale réside dans l'utilisation totalement exhaustive de la marchandise à sa disposition : aucune fleur ne doit rester sur son plan de travail une fois que toutes les compositions florales seront achevées.

Il vous est demandé de déterminer avec précision l'intégralité des configurations possibles pour ces assemblages. Vous devez indiquer combien de compositions distinctes le fleuriste peut réaliser, tout en prenant soin de préciser, pour chaque configuration, la répartition exacte des deux variétés de fleurs. Cet énoncé évalue de manière précise votre capacité fondamentale à modéliser mathématiquement une situation de la vie courante. Cette compétence didactique et mathématique est par ailleurs absolument essentielle pour un futur professeur des écoles, qui sera régulièrement amené à construire ce type de petit problème concret pour les apprentissages de ses jeunes élèves.

Les notions a maitriser

• La notion de diviseur : comprendre ce qu'est un diviseur d'un nombre entier naturel et savoir dresser la liste complète des diviseurs d'un petit nombre donné.
• Les diviseurs communs : être capable d'identifier les diviseurs partagés par deux entiers naturels afin de résoudre des problèmes concrets de partage équitable sans reste.
• La traduction mathématique d'un énoncé : savoir passer efficacement du vocabulaire courant aux concepts d'arithmétique correspondants.
• La systématisation d'une recherche : développer une démarche logique et exhaustive pour ne négliger aucune solution possible lors de l'énumération finale des possibilités.

Methode et pieges

Pour aborder cet exercice sereinement, la première étape fondamentale consiste à traduire minutieusement les mots de l'énoncé en langage mathématique. Lorsque le commerçant souhaite réaliser des ensembles totalement identiques sans aucun reste de marchandise, cela signifie que le nombre d'ensembles fabriqués doit nécessairement diviser à la fois la quantité initiale de la première variété de fleurs et la quantité de la seconde variété. Vous êtes donc à la recherche de diviseurs communs à deux nombres entiers. Il est très judicieux de commencer par établir méthodiquement la liste exhaustive des diviseurs de chaque quantité.

Le piège le plus fréquent dans ce genre de problème d'arithmétique est de ne chercher que le plus grand diviseur commun (PGCD), par simple réflexe acquis lors de vos révisions. Or, la question posée par le jury du concours vous demande très explicitement d'identifier toutes les possibilités existantes pour confectionner les lots, et non pas seulement la solution optimale en termes de nombre d'assemblages. Une fois que vous avez isolé la liste complète des diviseurs communs, n'oubliez surtout pas d'aller jusqu'au bout de la consigne. Pour chaque nombre de compositions envisageable, vous devez obligatoirement expliciter la constitution du bouquet. Enfin, prenez garde à ne pas écarter la solution la plus triviale, car elle répond strictement aux critères fixés. Pensez à toujours bien rédiger et justifier chaque étape de votre raisonnement pour convaincre le correcteur de votre rigueur.