Ce que demande cet exercice
Cet exercice aborde le thème très classique des probabilités au concours à travers la modélisation d'une urne contenant des boules de couleurs variées. Vous êtes tout d'abord confrontés à un diagramme en bâtons qu'il vous faut décrypter avec attention pour déterminer la composition exacte de l'urne. Cette première étape de lecture de données statistiques est absolument indispensable pour dénombrer avec précision l'effectif associé à chaque couleur ainsi que l'effectif global de l'urne. Ces données numériques constituent véritablement les fondations de l'ensemble de votre résolution.
Dans un second temps, le sujet vous invite à calculer une probabilité d'événement simple lors d'un tirage aléatoire. Les questions suivantes viennent alors complexifier la situation de départ en modifiant virtuellement la composition de l'urne. Il vous est explicitement demandé de déterminer le nombre minimal de boules d'une couleur spécifique à rajouter pour atteindre ou dépasser un certain seuil de probabilité, ce seuil étant défini par une inégalité stricte ou large. Vous devrez par conséquent être capables de traduire rigoureusement une situation probabiliste concrète sous la forme d'une inéquation mathématique à modéliser et à résoudre.
Les notions a maitriser
- Lecture et interprétation de graphiques statistiques : extraire des données numériques précises à partir d'un diagramme en bâtons.
- Loi de probabilité en situation d'équiprobabilité : appliquer la formule liant le nombre d'issues favorables au nombre total des issues possibles.
- Mise en inéquation d'un problème : traduire mathématiquement l'ajout d'éléments dans une urne et son impact sur la probabilité d'un événement.
- Résolution algébrique d'inéquations : manipuler des inégalités impliquant des quotients, pour isoler une inconnue devant être un entier naturel.
Methode et pieges
La toute première étape de résolution requiert votre plus grande concentration : lisez très soigneusement les ordonnées du graphique pour comptabiliser les boules. Une simple étourderie de lecture à ce stade initial fausserait inexorablement l'intégralité de vos calculs ultérieurs. Prenez la bonne habitude de vérifier la somme totale de vos effectifs par un petit calcul, car ce dénominateur commun sera la clé de voûte de vos probabilités. Assurez-vous d'expliciter sur votre copie que l'indication stipulant que les boules sont « indiscernables au toucher » permet de garantir le modèle d'équiprobabilité des tirages, justifiant ainsi l'utilisation de la formule usuelle des probabilités.
Le piège majeur de cet exercice d'examen réside dans la modélisation mathématique précise des ajouts de boules. Lorsque vous ajoutez virtuellement des boules supplémentaires, n'oubliez jamais que cette action modifie le numérateur si la couleur ajoutée correspond à l'événement souhaité, mais modifie aussi obligatoirement l'effectif total de l'urne, et donc le dénominateur de votre fraction de probabilité. Il est extrêmement fréquent chez les candidats d'oublier cette modification sur le dénominateur. Pour traiter efficacement les questions conditionnelles de cet énoncé, définissez formellement une inconnue mathématique représentant le nombre de boules à ajouter. Vous aboutirez naturellement à une inéquation algébrique. Prenez particulièrement garde au sens de l'inégalité lors de vos manipulations (notamment lors de la multiplication par le dénominateur) et gardez à l'esprit que la réponse finale doit avoir du sens matériellement : ce doit être un nombre entier naturel. Une résolution par essais successifs peut éventuellement être acceptée si elle est rigoureusement argumentée sous forme de tableau, bien que la méthode algébrique démontre mieux votre maîtrise disciplinaire.