Ce que demande cet exercice

Cet exercice de mathématiques, issu de la session 2016 du groupement 3, se présente sous la forme classique d'un vrai ou faux. Il comporte quatre affirmations totalement indépendantes. Pour chaque proposition, il vous est explicitement demandé non seulement de trancher sur sa véracité, mais surtout de justifier rigoureusement votre choix. Le sujet précise d'emblée qu'une réponse correcte non argumentée ne rapportera aucun point. Cela souligne l'importance primordiale accordée par le jury à la qualité de votre raisonnement mathématique ainsi qu'à la clarté de votre rédaction.

Les thématiques abordées sont variées et balaient plusieurs grands pans du programme. La première affirmation vous confronte à un problème de modélisation de grandeurs, impliquant le contenant et le contenu d'une bouteille d'eau. La deuxième proposition nécessite de modéliser une situation concrète à l'aide de la théorie des ensembles afin de dénombrer des élèves selon leurs destinations de vacances. La troisième s'appuie sur la représentation graphique d'une droite et vous demande de vérifier minutieusement si elle correspond à l'expression algébrique d'une fonction affine donnée. Enfin, la dernière proposition relève de l'arithmétique pure en vous soumettant un calcul précis de plus grand commun diviseur (PGCD).

Les notions a maitriser

• Résolution de problèmes et grandeurs : votre capacité à traduire un énoncé textuel impliquant des grandeurs concrètes en relations mathématiques simples exploitables par l'algèbre ou la logique.
• Théorie des ensembles et dénombrement : l'utilisation des principes d'intersection et d'union d'ensembles pour résoudre des problèmes de comptage, potentiellement à l'aide d'un diagramme de Venn.
• Fonctions affines et représentations graphiques : la parfaite maîtrise du lien entre l'expression algébrique d'une fonction, notamment le rôle de son coefficient directeur, et l'allure générale de sa droite représentative.
• Arithmétique élémentaire : la connaissance des critères de divisibilité usuels, de la décomposition en facteurs premiers ou de l'algorithme d'Euclide pour déterminer le PGCD de deux entiers.

Methode et pieges

La règle d'or pour affronter ce type d'exercice avec succès est de traiter chaque affirmation de manière isolée, comme un problème à part entière. Puisque la justification est obligatoire, ne vous contentez jamais de votre simple intuition. Pour démontrer qu'une affirmation est fausse, la méthode la plus rapide consiste très souvent à démontrer une contradiction mathématique manifeste. Dans le cas spécifique de la fonction affine, par exemple, une simple observation visuelle des caractéristiques de la droite tracée, comme l'évaluation de son sens de variation, peut tout à fait suffire à invalider l'expression algébrique proposée, sans même nécessiter de longs calculs.

En revanche, pour parvenir à prouver formellement qu'une affirmation est vraie, vous devez impérativement dérouler un raisonnement général solide. Face au problème des masses de la bouteille, prenez le temps de bien identifier vos inconnues si vous optez pour la mise en équation. Concernant le dénombrement des élèves, dessiner un petit schéma visuel sur votre brouillon vous évitera le piège classique consistant à compter deux fois les mêmes individus. Enfin, pour le calcul du PGCD, choisissez la méthode avec laquelle vous vous sentez le plus à l'aise, mais veillez toujours à détailler consciencieusement les étapes de votre recherche afin de rendre votre démarche limpide pour le correcteur.