Ce que demande cet exercice

Ce problème complet, issu du concours de recrutement de professeurs des écoles, vous plonge dans une situation concrète de fabrication d'emballages. Vous y étudierez la conception d'une boîte sans couvercle à partir d'un carton carré, en découpant des coins de dimensions variables. Dans un premier temps, vous devrez vérifier les dimensions, l'aire et le volume pour une découpe spécifique afin de vous familiariser avec la situation géométrique. Cette étape valide votre compréhension spatiale du passage du patron à l'objet en trois dimensions.

La suite du problème vous demande de généraliser cette démarche en posant une variable pour la dimension de la découpe. Vous serez ainsi amené à exprimer le volume et l'aire sous forme de fonctions algébriques. L'exercice bascule ensuite sur l'exploitation de ces fonctions à l'aide d'outils numériques et graphiques. Vous interpréterez un tableau de tableur pour encadrer une solution liée à une contrainte de contenance. Ensuite, l'analyse d'une courbe représentative vous permettra de déterminer graphiquement un volume maximal ainsi que des valeurs approchées pour des volumes cibles. Les deux dernières parties de l'exercice enrichissent le contexte avec la création d'un couvercle en forme de pyramide, nécessitant le tracé d'un patron à l'échelle, et l'utilisation des chutes de carton pour concevoir un logo basé sur un hexagone régulier, mobilisant ainsi vos compétences en tracés géométriques et en calculs d'aires complexes.

Les notions a maitriser

• Géométrie dans l'espace : passage du plan à l'espace, réalisation et codage de patrons (pavé droit ouvert et pyramide), calculs de volumes.
• Modélisation et fonctions : traduction d'une situation géométrique en expression littérale, analyse de variations et lecture d'antécédents sur une courbe.
• Outils numériques : syntaxe et utilisation d'un tableur pour générer une table de valeurs et affiner un encadrement de solutions.
• Géométrie plane et grandeurs : propriétés de l'hexagone régulier et du triangle équilatéral, application d'une échelle de réduction, conversions d'unités de capacité vers les unités de volume.

Methode et pieges

La première difficulté majeure de cette épreuve réside dans les conversions d'unités. Lorsque le sujet vous interroge sur une contenance exprimée en litres, il est impératif de faire le lien direct avec les unités de volume calculées précédemment en centimètres cubes. Prenez le temps de poser clairement votre conversion avant de chercher la réponse dans le tableur ou sur le graphique, sous peine de chercher des valeurs hors contexte. Concernant la question sur le tableur, rappelez-vous qu'une formule doit impérativement commencer par un signe d'égalité et utiliser les références des cellules plutôt que les valeurs numériques directes, afin de permettre la recopie vers le bas.

Pour la partie graphique, soyez extrêmement rigoureux dans vos lectures. Utilisez une règle pour tracer des traits de construction clairs. N'oubliez pas qu'une équation du type volume égal à une constante peut admettre plusieurs solutions, ce que la forme en cloche de la courbe vous suggère fortement. Enfin, lors de la réalisation des tracés géométriques, notamment le patron de la pyramide et l'hexagone régulier, la précision de vos instruments est évaluée. Pour la pyramide, réfléchissez bien aux vraies grandeurs des faces latérales qui nécessitent une petite étape de réflexion géométrique préalable dans l'espace. Pensez également à bien appliquer le coefficient de réduction demandé.