Ce que demande cet exercice

Cet exercice, issu de la session 2019 du concours, se présente sous la forme classique d'un questionnaire de type vrai ou faux. Vous y êtes confronté à quatre affirmations indépendantes réparties dans trois domaines distincts des mathématiques. Pour chacune de ces propositions, votre tâche ne se limite pas à déterminer la véracité de l'énoncé, mais exige de produire une justification mathématique rigoureuse. C'est cette argumentation qui est évaluée par le jury, une réponse binaire n'apportant aucun point.

La première affirmation vous demande de comparer les vitesses de deux mobiles, à savoir un train et une balle de tennis. Les données initiales sont fournies dans des unités de mesure temporelles et spatiales différentes, ce qui vous impose d'effectuer des conversions. La deuxième partie de l'exercice est consacrée aux statistiques descriptives. À partir d'un tableau recensant les hauteurs de pousses végétales et leurs effectifs pour une classe, vous devez analyser l'impact de l'ajout d'une valeur. L'affirmation 2 porte sur la stabilité de la médiane de la série statistique suite à cette insertion, tandis que l'affirmation 3 interroge la possibilité de retrouver la valeur de la donnée ajoutée connaissant l'évolution de la moyenne. Enfin, la dernière partie s'inscrit dans le domaine de l'arithmétique. Elle vous propose de vérifier une propriété concernant le reste de la division euclidienne d'une différence de deux nombres entiers, dont on connaît les propriétés de divisibilité respectives.

Les notions a maitriser

• Grandeurs et mesures : maîtrise parfaite des conversions d'unités de temps, de longueur, et calcul de la vitesse moyenne.
• Statistiques descriptives : compréhension profonde des indicateurs de position, avec une distinction claire entre la moyenne et la médiane pour des séries d'effectifs pairs ou impairs.
• Arithmétique : définition stricte de la division euclidienne, écriture mathématique associée et propriétés fondamentales de divisibilité.
• Raisonnement logique et argumentation : capacité à construire une démonstration algébrique pour prouver qu'une affirmation est vraie, ou à formuler un contre-exemple pertinent pour prouver qu'elle est fausse.

Methode et pieges

Pour la première affirmation, le piège réside dans la précipitation. Avant d'établir une quelconque comparaison entre la vitesse du train et celle de la balle, vous devez impérativement ramener les deux valeurs à une unité commune, en mètres par seconde ou en kilomètres par heure. Prenez soin de détailler les étapes de votre conversion sur votre copie, car le correcteur évaluera votre démarche sur le calcul de ces grandeurs quotients.

Concernant les statistiques, une erreur fréquente consiste à traiter la nouvelle série sans recalculer rigoureusement les effectifs cumulés totaux. Pour la médiane, rappelez-vous que la position de la valeur centrale dépend directement de la parité de l'effectif global. Observez attentivement l'impact du passage d'un effectif impair à un effectif pair. Pour l'affirmation portant sur la moyenne, la méthode la plus sûre consiste à poser une équation où l'inconnue représente la nouvelle donnée. En traduisant l'énoncé algébriquement, vous démontrerez si la résolution aboutit à une solution unique. Enfin, en arithmétique, évitez les simples exemples numériques si l'affirmation semble vraie. Il est indispensable d'utiliser le calcul littéral, en écrivant les égalités des divisions euclidiennes avec des variables distinctes, pour manipuler la différence et prouver formellement le résultat attendu.