Ce que demande cet exercice

L'exercice numéro deux du concours de recrutement de professeurs des écoles de la session 2018, issu du quatrième groupement académique, vous plonge dans une mise en situation très concrète des épreuves. Vous êtes face à la réalisation d'un élève pâtissier qui doit concevoir une pièce montée. Celle-ci se compose de trois gâteaux de forme cylindrique, superposés et alignés sur un même axe de symétrie. Le sujet vous fournit les dimensions du gâteau constituant la base, ainsi que la hauteur commune à l'ensemble des étages de la structure.

Pour déterminer les dimensions des niveaux supérieurs de cette pièce montée, vous devrez manipuler des proportions. Le rayon de chaque niveau se déduit du précédent par l'application successive de fractions. L'énoncé exige ensuite de déterminer le rayon spécifique du niveau supérieur, puis de démontrer un résultat précis concernant le volume total de la composition pâtissière, exprimé de manière exacte. Enfin, la dernière question évalue votre capacité à mettre en rapport deux volumes afin d'en déduire la part que représente l'étage supérieur par rapport à l'ensemble, le tout synthétisé sous la forme d'une fraction irréductible.

Les notions a maitriser

• Le calcul de volumes usuels : vous devez connaître parfaitement la formule permettant de calculer le volume d'un cylindre de révolution à partir de son rayon de base et de sa hauteur.
• Prendre une fraction d'une grandeur : il est indispensable de savoir multiplier une valeur numérique par une fraction pour en déterminer une proportion précise.
• Les valeurs exactes : le concours exige de différencier une valeur exacte impliquant le nombre pi d'une valeur approchée décimale.
• La simplification de fractions : vous devez maîtriser les critères de divisibilité pour rendre une écriture fractionnaire totalement irréductible.

Methode et pieges

La première étape de votre résolution consiste à bien lire les données en cascade. Pour calculer le rayon du troisième gâteau, il est préférable de déterminer d'abord le rayon du gâteau intermédiaire en calculant les deux tiers du rayon initial. Une fois ce résultat obtenu, vous pourrez lui appliquer la proportion de trois quarts demandée. Vous pouvez également réaliser un unique calcul en multipliant les fractions entre elles avant de les appliquer au rayon initial, ce qui permet de simplifier astucieusement les numérateurs et les dénominateurs avant de multiplier.

Lors du calcul du volume total, le piège classique est de remplacer la constante circulaire par sa valeur approchée, telle que trois virgule quatorze. L'énoncé précise qu'il faut montrer un volume total exact comportant cette constante. Vous devez donc additionner les volumes des trois cylindres en factorisant le résultat par la constante mathématique. Calculez le carré de chaque rayon, multipliez-le par la hauteur, puis sommez les différents coefficients pour retrouver la valeur proposée par le jury.

Pour l'ultime question, vous allez concevoir une fraction dont le numérateur sera le volume de l'étage supérieur et le dénominateur le volume total. Une première simplification s'imposera d'elle-même concernant la constante mathématique qui figurera en haut et en bas du quotient. Une fois cette constante éliminée, utilisez les règles de divisibilité classiques, par dix, puis par cinq ou par d'autres facteurs, jusqu'à aboutir à un rapport dont les termes sont premiers entre eux. Le correcteur pénalisera une fraction qui n'est pas rendue irréductible.