Ce que demande cet exercice

Ce problème du concours de recrutement de professeurs des écoles vous plonge dans une situation concrète : l'étude géométrique d'une piste d'athlétisme. Vous allez devoir mobiliser vos connaissances pour modéliser cette piste, typiquement composée de deux lignes droites et de deux demi-cercles, puis répondre à une série de questions progressives. Le début du sujet se concentre sur les dimensions globales de la piste, en vous demandant de justifier la longueur d'un tour complet pour le couloir le plus à l'intérieur. Il s'agira ensuite de réaliser un dessin précis à l'échelle pour représenter ce premier couloir, en explicitant clairement toutes vos étapes de conversion.

La suite du problème se penche sur le décalage observé au départ d'une course en couloirs, comme le 200 mètres. Pour modéliser cela, il vous faudra calculer la longueur d'arcs de cercles et déduire la mesure des angles au centre. Vous devrez également exploiter une représentation graphique fournie afin de vérifier une éventuelle situation de proportionnalité entre le numéro du couloir et l'angle. De plus, une question vous demandera d'identifier la bonne formule de tableur permettant d'automatiser ces calculs. Enfin, le sujet s'achève sur des notions autour des vitesses moyennes et des pourcentages, en prenant pour exemple le record historique du sprinteur Usain Bolt.

Les notions a maitriser

• Géométrie plane : calculs de périmètres, détermination de longueurs d'arcs de cercles, et réalisation de tracés avec conversions à l'échelle.
• Proportionnalité et lecture graphique : interprétation d'une courbe dans un repère et vérification de la proportionnalité.
• Tableur : compréhension des références de cellules, de l'étirement vers le bas et de la syntaxe des formules.
• Vitesses et durées : calculs de vitesse moyenne, conversions d'unités, et manipulations de durées (heures, minutes, secondes).
• Pourcentages : calcul de taux d'évolution et mise en évidence de pourcentages de réduction.

Methode et pieges

Pour réussir ce vaste problème sereinement, une lecture extrêmement minutieuse du schéma initial et du texte de présentation est indispensable. Le principal piège géométrique du sujet réside dans la prise en compte rigoureuse du décalage et de l'épaisseur des couloirs : n'oubliez pas que la distance de course est toujours calculée sur le bord intérieur du couloir attribué au coureur, ce qui modifie inévitablement le rayon des demi-cercles à chaque changement de ligne. Prenez le temps de bien poser par écrit les rayons successifs pour ne pas vous tromper dans le calcul des longueurs d'arc. Lors de la question du dessin à l'échelle, prenez soin de détailler rigoureusement l'ensemble des calculs préalables pour montrer la validité de votre raisonnement mathématique au correcteur.

Concernant la partie évaluant vos compétences sur l'outil tableur, analysez chaque proposition mathématique en vous référant à l'expression algébrique que vous avez pu établir précédemment. Demandez-vous par exemple si le décalage initial du tout premier couloir doit être nul, ce qui constitue une astuce précieuse pour éliminer rapidement plusieurs propositions fausses. Enfin, dans les calculs de vitesse et de pourcentage, soyez d'une grande vigilance sur les unités et les arrondis exigés par l'énoncé. La transformation délicate du temps décimal en heures, minutes et secondes pour l'épreuve du marathon nécessite beaucoup de méthode et des divisions euclidiennes successives parfaitement maîtrisées.