Ce que demande cet exercice

Ce troisième exercice du sujet de mathématiques propose d'étudier une technique algorithmique permettant de calculer mentalement le carré d'un nombre entier qui se termine par le chiffre cinq. Le texte introductif vous explique la procédure pas à pas et vous fournit un exemple détaillé. Dans un premier temps, vous devez vous approprier cette méthode en l'appliquant strictement à un nombre à deux chiffres. Il s'agit ici de montrer que vous avez compris les différentes étapes de la démarche empirique décrite par l'énoncé, en détaillant fidèlement votre raisonnement mental pour parvenir à la solution.

Dans un second temps, le sujet vous invite à valider mathématiquement cette astuce de calcul en utilisant les outils de l'algèbre. En posant un nombre générique sous la forme d'une somme impliquant son nombre de dizaines, vous devez développer l'expression de son carré pour retrouver une formule spécifique. Une fois cette relation algébrique établie, l'exercice exige un travail d'explication : vous devez rédiger une justification faisant le pont entre la formule littérale démontrée et la règle de calcul initialement énoncée en français. Enfin, une dernière question demande de transposer cette méthode, prévue au départ pour des entiers, au calcul du carré d'un nombre décimal particulier.

Les notions a maitriser

• Le développement d'expressions algébriques : vous devez maîtriser la double distributivité et l'utilisation de l'identité remarquable correspondant au carré d'une somme.
• La numération décimale de position : il est indispensable de bien différencier le chiffre des dizaines du nombre de dizaines, et de comprendre le rôle multiplicatif de la base dix.
• La modélisation mathématique : vous devez être capable de traduire une propriété arithmétique formulée en langage courant vers une écriture littérale rigoureuse, et inversement.
• Le calcul avec les nombres décimaux : la compréhension de l'effet d'un changement d'unité ou d'un décalage de virgule lors d'une élévation au carré est fermement requise.

Methode et pieges

Pour réussir la première question, le principal piège consisterait à donner directement le résultat sans expliquer votre démarche. L'énoncé demande de montrer comment calculer mentalement : vous devez donc expliciter l'identification du nombre de dizaines et l'application des deux étapes décrites dans le texte introductif, exactement comme le fait l'exemple fourni. Soyez précis et calquez simplement votre rédaction sur le modèle de l'énoncé.

Lors de la preuve algébrique demandée à la question deux, partez de l'expression initiale élevée au carré et développez-la avec grand soin. Le but est d'aboutir à la forme factorisée proposée par le sujet. Après avoir développé votre carré, observez les termes obtenus et repérez le facteur commun pertinent pour faire apparaître l'expression attendue. Pour la question trois, l'exigence porte sur la clarté de votre argumentation. Isolez chaque élément de la formule algébrique et traduisez-le en français pour prouver qu'il correspond à l'algorithme : expliquez ce que représente le facteur cent, ce qu'illustre le produit des deux facteurs consécutifs, et l'incidence de l'addition du dernier terme sur l'écriture du résultat final. Enfin, pour l'extension au nombre décimal, ramenez-vous à un entier connu en utilisant judicieusement les fractions décimales, puis appliquez la méthode sur le numérateur de votre expression.