Ce que demande cet exercice

Ce problème, issu du concours de recrutement de professeurs des écoles, vous plonge dans une situation concrète d'aménagement paysager. Vous êtes face au plan d'un jardin modélisé par un trapèze, lui-même décomposable en un rectangle et un triangle rectangle. Le propriétaire souhaite réaliser plusieurs projets successifs : clôturer le terrain, délimiter un potager, créer un espace de plantations florales en forme de demi-disque, et engazonner le reste de la parcelle. Vous devrez, dans un premier temps, déterminer la longueur de la clôture nécessaire en tenant compte de l'ouverture d'un portail, puis calculer les aires des différentes zones aménagées.

Dans un second temps, le problème fait évoluer la configuration du jardin en introduisant une variable liée à l'agrandissement du potager. Cette modification transforme le calcul d'aires géométriques fixes en l'étude de fonctions. Vous serez amené à justifier des expressions littérales, à identifier des formules de tableur permettant d'automatiser ces calculs, et enfin à exploiter une représentation graphique. L'exploitation du graphique vous demandera d'associer des courbes aux différentes parties du jardin et d'interpréter un point d'intersection, avant de confirmer vos lectures graphiques par le calcul.

Les notions à maîtriser

• Le théorème de Pythagore : indispensable pour déterminer les longueurs manquantes dans les figures géométriques et calculer les périmètres.
• Le calcul d'aires : vous devez connaître les formules classiques pour le rectangle, le triangle, le trapèze et le disque.
• Le calcul littéral et la modélisation : capacité à exprimer une grandeur géométrique en fonction d'une variable x.
• L'utilisation du tableur : compréhension de la syntaxe des formules et du principe de la poignée de recopie.
• La lecture et l'interprétation graphique : associer l'allure d'une courbe à une situation, trouver des antécédents et interpréter l'intersection de deux courbes.

Méthode et pièges

Pour aborder sereinement ce problème, il est primordial de procéder avec méthode, en particulier lors des calculs géométriques initiaux. Pensez à bien décomposer la figure complexe en figures simples (rectangle et triangle rectangle) et prenez le temps de rédiger rigoureusement l'application du théorème de Pythagore. Une erreur sur le calcul d'une longueur se répercutera sur l'ensemble de la première partie, notamment sur les calculs de périmètre et d'aires. Faites également très attention aux unités et aux consignes d'arrondi : le sujet exige de donner d'abord des valeurs exactes, puis d'arrondir au mètre ou au mètre carré près.

Dans la partie consacrée aux fonctions et au tableur, l'un des pièges classiques réside dans la syntaxe des formules. Assurez-vous de bien maîtriser l'écriture propre aux tableurs, notamment la façon d'appeler les cellules et d'utiliser la valeur de pi. Lors de l'étude graphique, prenez le soin d'observer les variations de chaque courbe (croissance ou décroissance) pour les associer logiquement à l'évolution des aires en fonction de la distance choisie par le propriétaire. Enfin, justifiez clairement vos calculs algébriques finaux en posant correctement les équations demandées, sans vous contenter des valeurs lues sur le graphique.