Ce que demande cette question
La dixième question de l'épreuve de raisonnement logique et mathématiques du concours ACCÈS 2025 vous confronte à l'étude d'une fonction polynomiale paramétrée. L'énoncé introduit une fonction de la forme d'un monôme de degré six, multiplié par une constante strictement positive. À partir de cette définition relativement épurée, vous devez évaluer la véracité de quatre affirmations distinctes qui balayent plusieurs aspects fondamentaux de l'analyse mathématique.
Dans un premier temps, il vous est demandé de statuer sur le sens de variation de cette fonction sur un intervalle positif donné. Ensuite, vous devez déterminer avec précision son domaine de définition, une étape souvent source de confusion lorsque l'on manipule des puissances paires. La troisième affirmation vous invite à étudier l'intersection entre la courbe représentative de cette fonction et celle d'une fonction linéaire associée, ce qui implique de poser et de résoudre une équation polynomiale pour trouver le nombre exact de points de contact, et ce, quelle que soit la valeur du paramètre initial. Enfin, la dernière proposition aborde les transformations graphiques en vous demandant de vérifier si la courbe de la fonction opposée présente une symétrie spécifique par rapport à l'axe des ordonnées. L'ensemble de ces propositions nécessite une lecture attentive et une bonne capacité d'abstraction.
Les notions à maîtriser
Pour aborder cette question sereinement, vous devez être parfaitement à l'aise avec les concepts suivants :
- Le domaine de définition des fonctions usuelles : savoir identifier pour quelles valeurs de la variable une fonction polynomiale est mathématiquement définie.
- La dérivation et l'étude des variations : être capable de dériver une fonction de la forme puissance, d'étudier le signe de sa dérivée et d'en déduire la monotonie sur un intervalle précis.
- La résolution d'équations polynomiales : savoir poser l'égalité entre deux expressions fonctionnelles pour déterminer les abscisses de leurs points d'intersection, en factorisant correctement.
- Les symétries graphiques : comprendre l'impact d'un signe négatif global sur l'expression d'une fonction et identifier les symétries axiales ou centrales.
Méthode et pièges au concours ACCÈS
L'épreuve de mathématiques du concours ACCÈS présente une structure très particulière qu'il faut impérativement intégrer à votre stratégie de préparation. Chaque question comporte quatre affirmations indépendantes, et vous devez indiquer pour chacune si elle est vraie ou fausse. Le système de notation est conçu pour pénaliser les réponses données au hasard : une erreur vous coûtera plus de points qu'une absence de réponse. Il est donc fondamental de ne cocher une case que si vous êtes absolument certain de votre raisonnement.
Face à une question portant sur les fonctions et les dérivées, le premier piège consiste à lire l'énoncé trop rapidement. Ici, la condition sur le paramètre, qui est strictement positif, est cruciale pour déterminer le signe de la dérivée et donc les variations de la fonction. De même, ne confondez pas le domaine de définition d'une fonction polynomiale classique avec celui d'une fonction logarithme ou racine carrée. Pour l'affirmation concernant les points d'intersection, prenez le temps de poser l'équation sur votre brouillon. Une erreur classique serait de simplifier hâtivement par la variable sans considérer qu'elle peut être nulle, ce qui vous ferait perdre une solution évidente. Enfin, concernant les symétries, dessinez un petit croquis rapide : visualiser la courbe d'une fonction paire et de son opposée permet souvent d'éviter une erreur d'étourderie sur l'axe de symétrie concerné. Prenez votre temps, sécurisez vos points et laissez blanc en cas de doute persistant.