Ce que demande cette question

Dans cette quatorzième question de l'épreuve de mathématiques du concours ACCÈS 2019, vous êtes confronté à un problème concret de mathématiques financières. L'énoncé vous place dans la situation d'un entrepreneur, François, qui doit financer l'achat de machines industrielles. Pour cela, il mobilise un apport personnel et contracte un emprunt bancaire pour la somme restante. Le cœur du problème réside dans le mode de remboursement choisi : un amortissement constant du capital. En effet, chaque année, François rembourse une fraction fixe du capital emprunté, à laquelle s'ajoutent les intérêts calculés sur le capital restant dû au début de l'année en cours. Les quatre affirmations proposées vous demandent de vérifier plusieurs paramètres de ce prêt. Vous devrez notamment déterminer la durée totale de l'emprunt, calculer le montant du capital restant à rembourser au début de la deuxième année, évaluer la diminution annuelle du montant des intérêts, et enfin, quantifier le coût total du crédit, c'est-à-dire la somme globale des intérêts versés à la banque sur toute la durée de l'opération. Il s'agit donc de traduire un texte financier en un modèle mathématique rigoureux utilisant les suites.

Les notions à maîtriser

• Le principe de l'amortissement constant : comprendre que la part de capital remboursée chaque année est fixe, tandis que les intérêts diminuent.
• Le calcul des intérêts simples et composés : savoir appliquer un taux d'intérêt annuel sur un capital restant dû qui évolue au fil du temps.
• Les suites arithmétiques : modéliser la diminution du capital restant dû et la baisse des intérêts annuels à l'aide de suites mathématiques pour faciliter les calculs.
• La somme des termes d'une suite arithmétique : utiliser la formule adéquate pour calculer le montant total des intérêts payés sur l'ensemble de la durée du prêt.

Méthode et pièges au concours ACCÈS

L'épreuve de raisonnement logique et mathématiques du concours ACCÈS est particulièrement exigeante, tant par la complexité de ses énoncés que par son système de notation. Face à un problème de mathématiques financières comme celui-ci, la première étape de votre méthode doit être la modélisation. Prenez le temps de définir clairement vos variables sur votre brouillon : le capital emprunté, la durée, l'amortissement annuel et le taux d'intérêt. Ne vous lancez pas dans des calculs mentaux hasardeux ; écrivez l'évolution du capital restant dû pour la première, la deuxième, puis la énième année. Cela vous permettra de dégager la logique de la suite arithmétique sous-jacente.

Un piège classique dans ce type d'exercice est la confusion entre l'annuité (la somme totale payée à la fin de l'année), l'amortissement (la part de capital remboursée) et les intérêts. L'énoncé précise bien que les mille cinq cents euros correspondent au remboursement partiel de la somme empruntée, et non à l'annuité totale. Lisez donc chaque mot avec une attention extrême.

Enfin, gardez toujours à l'esprit les spécificités du barème du concours ACCÈS. Il s'agit d'un QCM à pénalité où chaque question comporte quatre affirmations qui peuvent être vraies ou fausses. Une mauvaise réponse vous fera perdre plus de points qu'une absence de réponse. Si vos calculs n'aboutissent pas ou si vous avez un doute sérieux sur l'une des affirmations, il est souvent stratégiquement plus rentable de s'abstenir plutôt que de cocher au hasard. La gestion du risque est une compétence tout aussi importante que vos connaissances mathématiques pour réussir cette épreuve.