Ce que demande cette question
Dans cette huitième question de l'épreuve de raisonnement logique et mathématiques, vous êtes confronté à une étude classique de fonctions polynomiales du troisième degré. L'énoncé vous présente deux fonctions, l'une cubique et l'autre constante, ainsi qu'une troisième fonction définie comme la somme des deux premières. Votre objectif est d'analyser les propriétés analytiques de ces objets mathématiques à travers quatre affirmations. La première affirmation vous demande de comparer les nombres dérivés de deux fonctions en un point précis. Ensuite, les affirmations suivantes se concentrent sur les variations de la fonction cubique principale. Vous devez déterminer le nombre exact de ses extremums locaux, puis vérifier les coordonnées précises de l'un de ces points remarquables. Enfin, la dernière affirmation exige une application rigoureuse du théorème des valeurs intermédiaires pour déduire le nombre de solutions de deux équations distinctes. Il s'agit d'une question de synthèse qui balaye le programme d'analyse de terminale.
Les notions à maîtriser
- Le calcul de la fonction dérivée : vous devez savoir dériver une fonction polynomiale de degré trois avec aisance, ainsi que connaître la dérivée d'une fonction constante.
- Le lien entre dérivée et variations : il est indispensable de savoir dresser le tableau de signes de la dérivée pour en déduire les variations de la fonction et identifier les extremums.
- Le calcul des coordonnées d'un extremum : vous devez calculer l'image d'une racine de la dérivée par la fonction initiale pour vérifier les coordonnées proposées.
- Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires : cette notion est cruciale pour déterminer le nombre de solutions d'une équation en s'appuyant sur la stricte monotonie de la fonction.
Méthode et pièges au concours ACCÈS
Le concours ACCÈS présente des spécificités qu'il faut impérativement intégrer dans votre stratégie de résolution. Face à une question d'analyse comme celle-ci, la méthode la plus sûre consiste à dresser rapidement, au brouillon, le tableau de variations complet de la fonction principale. Ce tableau vous servira de véritable tableau de bord pour évaluer la véracité des affirmations proposées. Prenez garde aux erreurs de calcul mental lors de l'évaluation des images des racines, car une simple erreur de signe faussera vos coordonnées d'extremums.
Il est fondamental de se rappeler le système de notation de cette épreuve. Le barème du concours ACCÈS est conçu pour pénaliser les réponses données au hasard. En effet, une erreur vous coûtera plus cher qu'une absence de réponse. Si vous n'êtes pas absolument certain de la valeur d'un extremum ou du nombre de solutions d'une équation, il est préférable de s'abstenir plutôt que de risquer de perdre des points précieux. Ne vous précipitez pas sur la dernière affirmation qui demande de vérifier deux conditions simultanément : si l'une des deux est fausse, l'ensemble devient faux. Soyez méthodique et rigoureux dans vos dérivations pour réussir cette épreuve.