Ce que demande cette question

La question 7 de l'épreuve de raisonnement logique et mathématique du concours ACCÈS 2022 vous confronte à l'étude classique d'une fonction composée faisant intervenir la fonction exponentielle. L'énoncé définit une fonction sur l'ensemble des réels, combinant des termes en exponentielle de deux x et d'exponentielle de x, à laquelle on soustrait une constante. À partir de cette expression analytique, vous devez vous prononcer sur la véracité de quatre affirmations distinctes qui balayent l'ensemble des compétences attendues en analyse fonctionnelle. La première affirmation vous demande de calculer la dérivée de la fonction et de vérifier si sa forme factorisée correspond à celle proposée. La deuxième affirmation vous invite à déduire le sens de variation de la fonction sur un intervalle précis, faisant intervenir un logarithme népérien. La troisième affirmation porte sur la résolution d'une équation, vous demandant de déterminer si la courbe représentative croise l'axe des abscisses. Enfin, la dernière affirmation s'intéresse à la géométrie de la courbe, en vous demandant d'évaluer la pente de la tangente au point d'abscisse zéro pour savoir si celle-ci se révèle être horizontale.

Les notions à maîtriser

• Dérivation des fonctions exponentielles : savoir appliquer la règle de dérivation des fonctions composées, notamment pour l'exponentielle de deux x.
• Factorisation et étude de signe : être capable de mettre l'exponentielle en facteur pour étudier le signe de la dérivée et en déduire les variations de la fonction.
• Changement de variable : savoir poser un grand X égal à l'exponentielle de x pour ramener une équation exponentielle à une équation du second degré classique.
• Équation de la tangente : connaître la relation directe entre le nombre dérivé en un point et le coefficient directeur de la tangente en ce même point.

Méthode et pièges au concours ACCÈS

Le concours ACCÈS est une épreuve exigeante où la gestion du temps et la précision de vos calculs sont primordiales. Face à une fonction exponentielle, le premier réflexe doit être de dériver avec une grande rigueur. Une erreur de signe ou un coefficient oublié lors de la dérivation de l'exponentielle de deux x faussera non seulement la première affirmation, mais également l'étude des variations qui en découle. Prenez donc le temps de vérifier votre dérivée en la factorisant proprement, car l'exponentielle est toujours strictement positive, ce qui simplifie grandement l'étude du signe.

Pour la recherche des racines, ne vous laissez pas intimider par la présence de l'exponentielle. Le recours à un changement de variable est une technique classique et redoutablement efficace. Cependant, n'oubliez pas de vérifier la cohérence de vos solutions : une exponentielle ne peut jamais être négative ou nulle. C'est un piège fréquent dans lequel de nombreux candidats tombent par précipitation lors de la résolution.

Enfin, gardez toujours à l'esprit les spécificités du barème de l'épreuve de raisonnement logique et mathématiques du concours ACCÈS. Chaque question comporte quatre affirmations indépendantes qu'il faut évaluer par vrai ou faux. Une réponse incorrecte est lourdement pénalisée et vous fait perdre des points, tandis qu'une absence de réponse rapporte zéro. Une erreur coûte donc plus cher qu'une abstention. Si vous doutez fortement de la résolution d'une équation ou du calcul d'une tangente, il est souvent stratégique de ne pas cocher la case plutôt que de risquer des points négatifs. Sécurisez les affirmations dont vous êtes certain, comme le calcul de la dérivée, et avancez prudemment sur les déductions plus complexes.