Ce que demande cette question

La question 8 de l'épreuve de raisonnement mathématique du concours ACCÈS 2023 vous confronte à l'étude d'une fonction logarithme népérien composée avec un polynôme du second degré. L'énoncé définit la fonction par l'expression du logarithme de la différence entre le carré de la variable et quatre. À partir de cette unique donnée, vous devez analyser quatre affirmations distinctes qui balayent l'ensemble des propriétés fondamentales de l'analyse fonctionnelle au programme de terminale.

La première affirmation vous demande de vérifier si l'expression de la fonction peut être scindée en une somme de deux logarithmes sur son domaine de définition, ce qui implique de bien comprendre les règles opératoires du logarithme et les conditions de positivité des arguments. La deuxième affirmation porte spécifiquement sur la détermination de ce domaine de définition, en vous proposant un intervalle sous la forme de l'ensemble des réels privé d'un segment fermé. La troisième affirmation vous invite à calculer la dérivée de cette fonction composée et à la comparer avec une fraction rationnelle donnée. Enfin, la dernière affirmation interroge la parité de la fonction, nécessitant de vérifier si l'image de l'opposé de la variable est égale à l'image de la variable elle-même sur un domaine centré en zéro.

Les notions à maîtriser

Pour aborder sereinement cette question, vous devez maîtriser plusieurs concepts clés de l'analyse mathématique.

• Le domaine de définition du logarithme : savoir que la fonction logarithme népérien n'est définie que pour des arguments strictement positifs et savoir résoudre une inéquation du second degré.
• Les propriétés algébriques du logarithme : connaître la formule transformant le logarithme d'un produit en somme de logarithmes, tout en prêtant une attention rigoureuse aux signes des facteurs.
• La dérivation des fonctions composées : appliquer correctement la formule de la dérivée de la fonction logarithme d'une fonction, à savoir le quotient de la dérivée de l'argument par l'argument lui-même.
• La parité d'une fonction : savoir vérifier les deux conditions cumulatives, c'est-à-dire la symétrie du domaine de définition par rapport à l'origine et l'égalité des images pour des valeurs opposées.

Méthode et pièges au concours ACCÈS

Le concours ACCÈS est réputé pour ses pièges subtils, et cette question sur la fonction logarithme en est une parfaite illustration. Le piège classique de la première affirmation réside dans l'application aveugle des formules algébriques sans vérifier le signe de chaque terme. En effet, le produit de deux nombres négatifs est positif, ce qui autorise le calcul du logarithme du produit, mais interdit de séparer l'expression en une somme de logarithmes de nombres négatifs. Vous devez donc toujours garder à l'esprit le domaine de définition avant d'appliquer une transformation algébrique.

Concernant le calcul de la dérivée, l'erreur fréquente est d'oublier de dériver l'argument du logarithme au numérateur. Prenez le temps de poser clairement votre fonction interne et sa dérivée avant d'assembler le quotient. Pour la parité, n'oubliez jamais que la symétrie du domaine de définition est une condition préalable indispensable avant même de calculer l'image de l'opposé de la variable.

Enfin, gardez en tête la spécificité du barème de l'épreuve de raisonnement logique et mathématiques du concours ACCÈS. Chaque question comporte quatre affirmations indépendantes à évaluer par vrai ou faux. Une réponse incorrecte est lourdement pénalisée par des points négatifs, tandis qu'une absence de réponse rapporte zéro point. Une erreur coûte donc systématiquement plus cher qu'une abstention. Si vous avez un doute persistant sur la validité d'une transformation algébrique ou sur une borne d'intervalle, il est stratégiquement préférable de ne pas cocher la case plutôt que de risquer de perdre les points accumulés sur les affirmations dont vous êtes certain. La gestion du risque est aussi importante que vos compétences mathématiques pour réussir cette épreuve.