Ce que demande cette question
Dans cette question numéro 13 de l'épreuve de mathématiques du concours ACCÈS 2010, vous êtes confronté à un problème classique de probabilités conditionnelles. L'énoncé décrit le parcours d'étudiants qui doivent passer deux tests successifs avant de se présenter à un examen de fin d'année. La réussite ou l'échec au premier test influence directement la probabilité de réussir le second test. Ensuite, les résultats obtenus à ces deux tests préliminaires déterminent les chances de succès à l'examen final.
Votre objectif est d'analyser cette situation à plusieurs étapes pour vérifier quatre affirmations distinctes. Vous devrez notamment calculer la probabilité globale de réussir le deuxième test, évaluer la probabilité de réussir l'ensemble des deux tests initiaux, et déterminer une probabilité conditionnelle inversée, c'est-à-dire la probabilité d'avoir réussi le premier test sachant que le second a été validé. Enfin, la dernière affirmation vous demande de calculer le taux de succès global à l'examen de fin d'année en tenant compte de tous les scénarios possibles (réussite aux deux tests, réussite à un seul test, ou échec aux deux). Il s'agit donc de modéliser correctement une expérience aléatoire à trois épreuves successives.
Les notions à maîtriser
Pour aborder cet exercice sereinement, vous devez être à l'aise avec les concepts fondamentaux du calcul des probabilités enseignés au lycée. Voici les points essentiels à mobiliser :
- La construction d'un arbre de probabilité : savoir traduire un énoncé textuel en un graphe pondéré à plusieurs niveaux (ici, trois niveaux correspondant aux deux tests et à l'examen final).
- La formule des probabilités totales : indispensable pour calculer la probabilité d'un événement qui dépend de plusieurs chemins distincts dans votre arbre, comme la réussite au deuxième test ou à l'examen final.
- Les probabilités conditionnelles : comprendre la notation et savoir utiliser la formule de définition pour calculer la probabilité d'un événement sachant qu'un autre s'est déjà réalisé.
- Le théorème de Bayes : savoir inverser un conditionnement, par exemple pour trouver la probabilité d'avoir réussi le premier test sachant que le deuxième est réussi, en utilisant les branches de l'arbre.
Méthode et pièges au concours ACCÈS
La clé de la réussite pour ce type de question réside dans la rigueur de votre modélisation initiale. Prenez toujours le temps de tracer un arbre de probabilité clair et suffisamment grand sur votre brouillon. Nommez vos événements de manière explicite et reportez soigneusement toutes les valeurs données dans l'énoncé sur les branches correspondantes.
Un piège fréquent dans cet exercice est de confondre la probabilité de l'intersection (réussir les deux tests) avec la probabilité conditionnelle (réussir le deuxième sachant que le premier est réussi). Lisez attentivement chaque mot des affirmations pour identifier exactement ce qui est demandé. De plus, le calcul du taux de succès à l'examen final nécessite de regrouper correctement les événements liés à la réussite d'un seul des deux tests, ce qui correspond à deux chemins distincts dans l'arbre, pour leur appliquer le bon pourcentage de réussite.
Gardez toujours à l'esprit les spécificités du concours ACCÈS. L'épreuve de raisonnement logique et mathématiques est un questionnaire où chaque question comporte quatre affirmations qui peuvent être vraies ou fausses. Le barème est conçu pour pénaliser les réponses données au hasard : une erreur vous coûtera plus cher qu'une absence de réponse. Si vos calculs de probabilités aboutissent à des fractions ou des pourcentages dont vous n'êtes pas absolument certain, il est souvent préférable de s'abstenir plutôt que de risquer des points de pénalité. Privilégiez la précision et la certitude, car la gestion du risque fait partie intégrante de la stratégie de ce concours.