Ce que demande cette question
Cette question numéro 18 de l'épreuve de mathématiques du concours ACCÈS 2011 vous propose un exercice hybride très classique, croisant l'algèbre fondamentale et les probabilités discrètes. L'énoncé vous place face à une expérience aléatoire simple en apparence : le lancer de deux dés cubiques parfaitement équilibrés, l'un blanc et l'autre vert. Les résultats de ces lancers, respectivement notés avec les lettres a et b, servent ensuite de coefficients pour construire une équation paramétrée du second degré.
Votre objectif principal est d'analyser les différentes situations qui découlent de cette équation. Les affirmations qui vous sont soumises exigent de déterminer la probabilité d'obtenir une racine double, aucune racine réelle, ou encore deux racines réelles distinctes. Pour répondre à ces propositions, vous devez impérativement passer par le calcul du discriminant de l'équation, qui dépendra directement des valeurs aléatoires tirées par les deux dés. Les deux dernières affirmations introduisent une difficulté supplémentaire en vous interrogeant sur des probabilités conditionnelles, puisqu'elles supposent que l'équation possède déjà deux racines réelles distinctes avant d'étudier le signe de ces racines ou leur valeur exacte.
Les notions à maîtriser
- Le calcul des probabilités sur un univers fini : Vous devez savoir dénombrer les cas favorables et les cas possibles dans un tableau à double entrée représentant les trente-six issues équiprobables du lancer des deux dés.
- La résolution des équations du second degré : Il est indispensable de maîtriser parfaitement le calcul du discriminant et de connaître les conditions strictes (strictement positif, nul ou strictement négatif) qui déterminent le nombre de racines réelles.
- Les probabilités conditionnelles : Vous devez être capable de restreindre votre univers d'étude à un sous-ensemble précis (ici, les cas où l'équation admet deux racines distinctes) pour calculer les probabilités des événements ultérieurs.
- Les relations entre les coefficients et les racines : La maîtrise des formules donnant la somme et le produit des racines d'un polynôme du second degré vous fera gagner un temps précieux pour déterminer leur signe sans avoir à les calculer explicitement.
Méthode et pièges au concours ACCÈS
Pour aborder sereinement ce type de question le jour de l'épreuve, la méthode la plus efficace consiste à modéliser immédiatement l'expérience aléatoire à l'aide d'un tableau à double entrée. Ce support visuel vous permettra de recenser rapidement le signe du discriminant pour chacun des trente-six couples de valeurs possibles. Ne tentez pas de tout faire de tête, car le risque d'oublier un cas favorable ou d'en compter un en double est très élevé sous la pression du chronomètre.
Faites particulièrement attention à la formulation des affirmations. Les propositions C et D commencent par une condition explicite. Il s'agit d'un piège classique du concours : beaucoup de candidats calculent la probabilité de l'intersection au lieu de la probabilité conditionnelle, oubliant ainsi de diviser par la probabilité de la condition initiale. Lisez chaque mot avec la plus grande rigueur.
Enfin, gardez toujours à l'esprit les spécificités du barème de l'épreuve de raisonnement logique et mathématiques du concours ACCÈS. Chaque question comporte quatre affirmations indépendantes à évaluer par vrai ou faux. Une erreur vous coûte plus cher qu'une absence de réponse. Si vous n'êtes pas absolument certain de votre dénombrement ou de votre calcul de probabilité conditionnelle sur l'une des propositions, il est souvent plus stratégique de vous abstenir plutôt que de risquer des points négatifs qui feraient chuter votre note globale.