Ce que demande cette question

La question 7 de l'épreuve de raisonnement mathématique du concours ACCÈS 2012 vous confronte à l'étude classique d'une fonction rationnelle faisant intervenir la fonction exponentielle au numérateur et au dénominateur. L'énoncé vous donne l'expression algébrique de la fonction et vous demande de vous prononcer sur quatre affirmations distinctes qui balayent les étapes fondamentales de l'étude d'une fonction. Vous devez tout d'abord analyser l'ensemble de définition de cette fonction, ce qui implique de chercher les valeurs qui annuleraient son dénominateur. Ensuite, il vous est demandé de justifier la dérivabilité de la fonction sur ce même ensemble de définition. La troisième affirmation vous propose une expression précise de la fonction dérivée, vous obligeant à appliquer rigoureusement les formules de dérivation d'un quotient. Enfin, la dernière proposition porte sur le comportement asymptotique de la courbe représentative de la fonction lorsque la variable tend vers moins l'infini, nécessitant un calcul de limite. Il s'agit donc d'un exercice de synthèse très complet sur l'analyse fonctionnelle.

Les notions à maîtriser

Pour aborder cette question sereinement, vous devez être parfaitement à l'aise avec les concepts mathématiques suivants :

• La résolution d'équations avec des exponentielles : savoir isoler l'exponentielle et utiliser le logarithme népérien pour trouver les valeurs interdites d'un dénominateur.
• Les théorèmes de dérivabilité : connaître les conditions sous lesquelles le quotient de deux fonctions dérivables est lui-même dérivable sur un intervalle donné.
• Le calcul de dérivées : maîtriser sur le bout des doigts la formule de dérivation d'un quotient, ainsi que la dérivée usuelle de la fonction exponentielle.
• Le calcul de limites : savoir déterminer la limite de la fonction exponentielle en moins l'infini et en déduire la limite d'une expression rationnelle pour identifier une asymptote horizontale.

Méthode et pièges au concours ACCÈS

L'épreuve de raisonnement logique et mathématiques du concours ACCÈS est réputée pour son exigence et sa gestion du temps très serrée. Face à une question d'analyse comme celle-ci, la méthode la plus efficace consiste à traiter les affirmations dans l'ordre chronologique de l'étude d'une fonction. Commencez par poser l'équation pour trouver l'ensemble de définition. Une erreur de signe à cette étape est un piège classique qui fausserait votre jugement sur la première affirmation. Lors du calcul de la dérivée, prenez le temps d'écrire clairement vos fonctions intermédiaires et leurs dérivées respectives au brouillon avant d'appliquer la formule du quotient. Les erreurs de développement au numérateur, notamment avec les signes négatifs, sont extrêmement fréquentes et anticipées par les concepteurs du sujet.

Gardez toujours à l'esprit les spécificités du barème du concours ACCÈS. Chaque question comporte quatre affirmations qui doivent être évaluées indépendamment. Une mauvaise réponse vous pénalise lourdement, car une erreur coûte plus cher qu'une absence de réponse. Si vous bloquez sur le calcul de la dérivée ou sur la limite asymptotique, il est stratégiquement préférable de ne pas répondre plutôt que de cocher au hasard. Assurez les points sur les affirmations dont vous êtes certain, comme la recherche de l'ensemble de définition qui demande des calculs algébriques moins lourds. La rigueur, la concentration et la prudence sont vos meilleurs atouts pour réussir cette épreuve.