Ce que demande cette question

La question 11 de l'épreuve de raisonnement mathématique du concours ACCÈS 2013 vous confronte à une inéquation comportant une inconnue en exposant. Vous partez d'une inéquation où une fraction, légèrement inférieure à un, est élevée à une puissance n, le tout étant inférieur ou égal à un demi. L'objectif est de transformer cette expression initiale pour isoler l'inconnue n et vérifier la véracité des quatre affirmations.

Les propositions A, B, C et D présentent différentes formulations de la solution, utilisant la fonction logarithme népérien. Vous devez déterminer quelles expressions sont mathématiquement équivalentes à l'inéquation de départ. Certaines propositions jouent sur les signes, d'autres sur les propriétés des fractions dans le logarithme, ou sur des erreurs de calcul volontaires. Il s'agit d'un exercice de manipulation algébrique pure.

Les notions à maîtriser

Pour aborder cette question sereinement, vous devez être à l'aise avec les outils algébriques liés aux fonctions transcendantes. Voici les points à mobiliser :

• La stricte croissance du logarithme népérien : appliquer la fonction ln de chaque côté d'une inéquation conserve le sens de l'inégalité.
• Les propriétés algébriques du logarithme : vous devez savoir transformer le logarithme d'une puissance ou d'un quotient. La formule liant le logarithme d'une puissance à l'exposant est centrale.
• Le signe du logarithme : il est impératif de savoir si le logarithme d'un nombre est positif ou négatif, car diviser par une valeur négative inverse le sens de l'inégalité.
• Le domaine de définition : gardez à l'esprit que la fonction logarithme n'est définie que pour des réels strictement positifs.

Méthode et pièges au concours ACCÈS

Dans le cadre du concours ACCÈS, la gestion du temps et la prise de décision face au risque sont déterminantes. L'épreuve est dense, avec quinze questions comportant chacune quatre affirmations à évaluer.

Face à ce type d'inéquation, la méthode la plus sûre consiste à résoudre le problème au brouillon avant d'analyser les propositions. Appliquez le logarithme népérien aux deux membres, utilisez la propriété de l'exposant pour faire descendre l'inconnue, puis isolez-la. Faites très attention lors de la dernière étape : si vous divisez par le logarithme d'un nombre compris entre zéro et un, ce logarithme est négatif. Vous devez donc impérativement changer le sens de l'inéquation. C'est le piège classique de ce chapitre.

Ensuite, comparez votre résultat avec les affirmations. Certaines nécessiteront de manipuler votre propre résultat pour vérifier s'il correspond à la forme proposée.

N'oubliez jamais la règle d'or du barème. Une mauvaise réponse vous pénalise lourdement, car une erreur coûte plus cher qu'une absence de réponse. Si vous hésitez sur le signe d'une expression ou sur une transformation algébrique, il est préférable de ne rien cocher. La prudence et la rigueur maximiseront votre score.