Ce que demande cette question
La question 8 de l'épreuve de raisonnement logique et mathématiques du concours ACCÈS 2015 vous confronte à l'étude analytique classique d'une fonction définie sur l'ensemble des réels. L'énoncé vous présente une fonction définie par le produit d'une variable et d'une parenthèse élevée au cube. À partir de cette unique expression algébrique, vous devez évaluer la véracité de quatre affirmations distinctes qui balayent une grande partie du programme d'analyse.
La première affirmation vous demande de statuer sur les propriétés globales de la fonction, à savoir sa continuité et sa dérivabilité sur son domaine. Il s'agit ici de reconnaître la nature de la fonction pour conclure. La deuxième affirmation vous invite à calculer la fonction dérivée. Vous devez dériver l'expression initiale en appliquant rigoureusement les formules de dérivation, puis factoriser le résultat obtenu pour le comparer à l'expression proposée.
La troisième affirmation bascule vers le calcul intégral en vous proposant une expression générale pour les primitives de la fonction initiale. Vous devez vérifier si la dérivation de cette fonction candidate redonne bien l'expression de départ, ou utiliser les formules usuelles pour construire la réponse. Enfin, la dernière affirmation vous demande de calculer la valeur exacte d'une intégrale définie entre les bornes zéro et un, en utilisant le résultat précédent.
Les notions à maîtriser
Pour aborder cette question avec sérénité, vous devez être parfaitement à l'aise avec les concepts fondamentaux de l'analyse mathématique :
- La continuité et la dérivabilité : savoir justifier ces propriétés pour des fonctions construites à partir de polynômes.
- Les règles de dérivation : maîtriser parfaitement la dérivée d'un produit de fonctions ainsi que la dérivée d'une fonction composée, notamment la puissance.
- La recherche de primitives : être capable d'identifier la forme caractéristique d'une fonction pour en déduire sa primitive, en particulier le produit d'une dérivée par une puissance.
- Le calcul d'intégrales : savoir évaluer une intégrale définie à l'aide d'une primitive préalablement identifiée.
Méthode et pièges au concours ACCÈS
L'épreuve de mathématiques du concours ACCÈS est réputée pour sa densité et son système de notation spécifique. Il est impératif de garder à l'esprit le barème : une réponse fausse est pénalisée par des points négatifs, tandis qu'une absence de réponse ne rapporte ni ne coûte de points. Par conséquent, si vous n'êtes pas certain de votre calcul, il est stratégiquement préférable de vous abstenir plutôt que de cocher au hasard.
Dans cette question précise, le piège principal réside dans les calculs algébriques. Lors de la dérivation, il est très facile d'oublier de dériver l'intérieur de la parenthèse, ce qui fausse intégralement le résultat final. Prenez le temps de poser clairement vos fonctions intermédiaires. De même, lors de la recherche de la primitive, l'ajustement des coefficients multiplicatifs nécessite une grande concentration. Un facteur oublié vous conduira inévitablement à valider une affirmation fausse.
Enfin, la cohérence entre les affirmations est une clé de réussite. Les questions sont souvent construites de manière séquentielle. Le calcul de l'intégrale dépend directement de la primitive abordée juste avant. Si vous détectez une incohérence dans vos résultats, n'hésitez pas à reprendre vos calculs depuis le début, sans y consacrer un temps démesuré.