Ce que demande cette question
La question 5 de l'épreuve de raisonnement logique et mathématiques du concours ACCÈS 2017 vous plonge dans une expérience aléatoire classique : le tirage successif avec remise. L'énoncé décrit une urne contenant exactement deux boules, l'une verte et l'autre rouge. Vous devez analyser une série de tirages successifs où la boule est systématiquement remise dans l'urne après chaque extraction. On vous définit ensuite deux événements spécifiques à étudier. Le premier événement correspond à l'obtention de boules des deux couleurs au cours de l'ensemble des tirages. Le second événement se réalise si vous obtenez au maximum une seule boule verte sur la totalité des extractions. Les quatre affirmations proposées vous demandent de calculer les probabilités de ces événements pour des nombres de tirages précis, notamment deux et trois tirages. Il vous est également demandé d'évaluer la probabilité de l'événement contraire dans le cas général, ainsi que la probabilité de l'intersection des deux événements pour trois tirages. Il s'agit donc de traduire un énoncé textuel en modèles mathématiques rigoureux.
Les notions à maîtriser
- Modélisation d'une expérience aléatoire à plusieurs épreuves : savoir représenter des tirages successifs avec remise à l'aide d'un arbre de probabilités ou d'un schéma de Bernoulli.
- Calcul de la probabilité d'un événement contraire : comprendre comment utiliser l'événement complémentaire pour simplifier grandement le calcul d'une probabilité complexe.
- Intersection d'événements : être capable de déterminer les issues communes à deux événements distincts pour évaluer la probabilité de leur réalisation simultanée.
- Dénombrement et combinatoire de base : identifier le nombre de chemins favorables dans un arbre pondéré pour des valeurs petites et dénombrables.
Méthode et pièges au concours ACCÈS
Face à ce type de question, la méthode la plus sûre pour les petites valeurs, comme deux ou trois tirages, consiste à dessiner rapidement un arbre de probabilités au brouillon. Puisque l'urne ne contient que deux boules équiprobables et que les tirages se font avec remise, chaque branche aura une probabilité identique. Cela vous permet de visualiser immédiatement toutes les issues possibles et de compter celles qui réalisent les événements demandés de manière exhaustive.
Pour le cas général avec un nombre indéterminé de tirages, réfléchissez systématiquement en termes d'événement contraire. Il est souvent beaucoup plus simple de calculer la probabilité de ne tirer que des boules d'une seule couleur plutôt que de dénombrer toutes les combinaisons bicolores possibles. Prenez également garde aux formulations des événements. L'expression indiquant au plus une boule verte signifie qu'il peut y en avoir exactement une, mais aussi aucune. Oublier le cas où aucune boule verte n'est tirée est une erreur classique qui faussera inévitablement vos calculs.
Enfin, gardez toujours à l'esprit le barème spécifique de l'épreuve de raisonnement logique et mathématiques du concours ACCÈS. Une mauvaise réponse est lourdement pénalisée et vous fait perdre des points précieux, tandis qu'une absence de réponse ne vous rapporte ni ne vous coûte rien. Si vous n'êtes pas absolument certain de votre calcul pour l'une des affirmations, il est stratégiquement préférable de vous abstenir plutôt que de tenter de deviner au hasard. La précision, la rigueur et la prudence sont vos meilleurs atouts pour réussir cette épreuve exigeante.