Ce que demande cette question

Dans cette septième question de l'épreuve de raisonnement logique et mathématiques du concours ACCÈS 2017, vous êtes confronté à une étude de fonction classique mais exigeante. L'énoncé vous présente une fonction définie sur l'ensemble des réels, qui combine une partie affine et un terme comportant une fonction exponentielle composée. Votre objectif est d'analyser différentes propriétés de cette fonction et de sa courbe représentative à travers quatre affirmations indépendantes.

La première affirmation vous demande de vérifier l'appartenance d'un point de repère standard à la courbe. Il s'agit d'un test de lecture de coordonnées et d'évaluation de la fonction en une valeur simple. La deuxième affirmation vous invite à déterminer le nombre d'antécédents d'une valeur précise. Cela revient à poser et à résoudre une équation non linéaire, ce qui nécessitera une factorisation astucieuse pour ne perdre aucune solution en cours de route.

La troisième affirmation porte sur le calcul formel de la dérivée de la fonction. Vous devez appliquer rigoureusement les formules de dérivation pour vérifier si l'expression proposée par l'énoncé est exacte. Enfin, la dernière affirmation s'intéresse à l'interprétation géométrique du nombre dérivé, en vous demandant de déterminer le signe du coefficient directeur de la tangente à la courbe en un point d'abscisse donné.

Les notions à maîtriser

Pour aborder cette question sereinement, vous devez être parfaitement à l'aise avec les concepts suivants :

• L'évaluation d'une fonction et les coordonnées : savoir traduire l'appartenance d'un point à une courbe par une égalité mathématique, en connaissant les coordonnées des points de base d'un repère orthonormé.
• La résolution d'équations avec exponentielles : être capable de factoriser une expression et d'utiliser la propriété de la fonction exponentielle qui ne s'annule jamais pour trouver les solutions d'une équation produit nul.
• Les règles de dérivation : maîtriser la dérivée d'un produit de fonctions et surtout la dérivée d'une fonction composée de type exponentielle, une compétence incontournable.
• L'équation de la tangente : faire le lien direct entre la valeur de la dérivée en un point et la pente, ou coefficient directeur, de la tangente à la courbe en ce point.

Méthode et pièges au concours ACCÈS

L'épreuve de mathématiques du concours ACCÈS est réputée pour sa densité et son système de notation très spécifique. Il est crucial de garder à l'esprit que le barème pénalise lourdement les erreurs. En effet, une mauvaise réponse vous fera perdre plus de points qu'une absence de réponse. Si vous hésitez sur le calcul de la dérivée ou sur la résolution de l'équation, il est parfois préférable de ne pas cocher plutôt que de risquer des points négatifs.

Dans cette question précise, le piège principal réside dans le calcul de la dérivée. L'expression contient un produit impliquant une exponentielle composée. L'erreur classique consiste à oublier de dériver l'exposant lors de l'application de la formule de composition. Prenez le temps de poser vos fonctions intermédiaires au brouillon pour éviter cette étourderie fréquente.

Un autre piège vous attend lors de la recherche des antécédents. En simplifiant l'équation, vous pourriez être tenté de diviser les deux membres par la variable. Cette manipulation algébrique est dangereuse car elle vous ferait perdre une solution évidente. Pensez toujours à tout regrouper dans un seul membre et à privilégier la factorisation. La rigueur dans vos étapes de calcul est votre meilleure alliée pour réussir cette épreuve sélective.